INFO TEST BTS1 16/02/10

 NOM : _________              Prénom:  _________  Classe: BTS1                           Date: 15/02/08

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 Une urne contient 30 boules indiscernables au toucher: 10 boules noires , 12 boules blanches , 8 boules rouges.

   Un joueur donne 6 euros pour jouer une partie d'un jeu. IL doit tirer trois boules simultanément de l'urne.

                * Si les trois boules sont noires alors il gagne 10 euros.

                * Si les trois boules sont blanches alors il gagne 3 euros.

                * Dans les autres cas il alors il ne gagne rien.

     Soit X  le gain algébrique du joueur.

   •• Quelles sont les valeurs a , b, c prises par X  avec a < b < c ? Ce sont les soldes.

                 a = 0 - 6 =   - 6 

                 b = 3 - 6 =   - 3    

                 c = 10 - 6 =  4     

       Quel univers des possibles Ω doit-on considérer ?

     Ω  est l'ensemble des combinaisons de trois boules     

      parmi les 30 boules de  l'urne  .       

     Card( Ω ) =C30 = 4 060.     On est dans une situation d'équiprobabilité.

   ••  Trouver P( X = b )   = Card( X = - 3 ) / Card(  Ω )        ( c'est la probabilité d'avoir 3 boules blanches)

       Card( X = - 3 ) = C12 3  = 220     Donc   P( X = - 3 ) = 220 / 4060  =  11 / 203

             P( X = - 3 ) =   11 / 203    

   •• Trouver P( X = c ) = Card( X = 4 ) / Card(  Ω )            ( c'est la probabilité d'avoir 3 boules noires)

         Card( X = 4 ) =C10 3   = 120      Donc   P( X = 4 ) = 120 / 4060 = 6 / 303

             P( X = 4 ) =   6 / 203    

  •• Compléter : P(X = a ) + P( X = b ) + P( X = c ) =   1   

  •• En déduire P( X = a ) = 1 - P( X = - 3 ) - P( X = 4 ) = 1 - 11 / 203 - 6 / 203 = 186 / 203 

            P( X = - 6 ) =   186 / 203                                      

     Compléter le tableau:   ( Loi de probabilité de X  )

x           -6      -3         4         
P( X = x)    186 / 203             11 / 203         6 / 203       

    • • Calculer E( X ) = a × P( X = a ) + b × P( X = b ) + c × P( X = c )     ( Espérance de X )

          E( X ) = - 6 × (186 / 203 )- 3 ×  ( 11 / 203 ) + 4  ×( 6 / 203 ) = - 1125 / 203

             E( X ) = - 5,54   

  • •   Le jeu est-il équitable?     NON  

       Pour quoi ?    E( X )  est non nulle  

       Quel montant faudrait-il faire payer au joueur pour que qu'il le soit ? Il donne 5,54 euros de trop.

         6 - 5,54 = 0,46     Il faudrait faire payer au joueur 0,46 euros      L''espérance de gain algébrique

        serait alors nulle.

•• Calculer  V( X ) = a² P( X =a ) + b²  P( X  = b  ) + c²  P (X = c )  - (E( X ) )²   = E( X² ) -   (E( X ) )² 

  (  Variance de X )

     V( X ) = ( - 6 )² × (186 / 203 )  + ( - 3 )² ×  ( 11 / 203 ) + 4²  ×( 6 / 203 )  - (  - 1125 / 203)²  = 6891 / 203 - ( -1125 / 203 )²

     V( X ) = 1398873 / 41209  - 1265625 / 41209

     V( X ) = 133248/ 41209

      V( X ) ≈  3, 23 

 Calculer σ( X ) =√ V( X )             ( Ecart type de X )

               σ( X ) ≈ 1 , 79      euros

( Plus   σ( X ) est important moins  E( X ) n'a de signification. )

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