NOM : _________ Prénom: _________ Classe: BTS1 Date: 15/02/08
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• Une urne contient 30 boules indiscernables au toucher: 10 boules noires , 12 boules blanches , 8 boules rouges.
Un joueur donne 6 euros pour jouer une partie d'un jeu. IL doit tirer trois boules simultanément de l'urne.
* Si les trois boules sont noires alors il gagne 10 euros.
* Si les trois boules sont blanches alors il gagne 3 euros.
* Dans les autres cas il alors il ne gagne rien.
Soit X le gain algébrique du joueur.
•• Quelles sont les valeurs a , b, c prises par X avec a < b < c ? Ce sont les soldes.
a = 0 - 6 = - 6
b = 3 - 6 = - 3
c = 10 - 6 = 4
Quel univers des possibles Ω doit-on considérer ?
Ω est l'ensemble des combinaisons de trois boules
parmi les 30 boules de l'urne .
Card( Ω ) =C30 3 = 4 060. On est dans une situation d'équiprobabilité.
•• Trouver P( X = b ) = Card( X = - 3 ) / Card( Ω ) ( c'est la probabilité d'avoir 3 boules blanches)
Card( X = - 3 ) = C12 3 = 220 Donc P( X = - 3 ) = 220 / 4060 = 11 / 203
P( X = - 3 ) = 11 / 203
•• Trouver P( X = c ) = Card( X = 4 ) / Card( Ω ) ( c'est la probabilité d'avoir 3 boules noires)
Card( X = 4 ) =C10 3 = 120 Donc P( X = 4 ) = 120 / 4060 = 6 / 303
P( X = 4 ) = 6 / 203
•• Compléter : P(X = a ) + P( X = b ) + P( X = c ) = 1
•• En déduire P( X = a ) = 1 - P( X = - 3 ) - P( X = 4 ) = 1 - 11 / 203 - 6 / 203 = 186 / 203
P( X = - 6 ) = 186 / 203
Compléter le tableau: ( Loi de probabilité de X )
| x | -6 | -3 | 4 |
| P( X = x) | 186 / 203 | 11 / 203 | 6 / 203 |
• • Calculer E( X ) = a × P( X = a ) + b × P( X = b ) + c × P( X = c ) ( Espérance de X )
E( X ) = - 6 × (186 / 203 )- 3 × ( 11 / 203 ) + 4 ×( 6 / 203 ) = - 1125 / 203
E( X ) = - 5,54
• • Le jeu est-il équitable? NON
Pour quoi ? E( X ) est non nulle
Quel montant faudrait-il faire payer au joueur pour que qu'il le soit ? Il donne 5,54 euros de trop.
6 - 5,54 = 0,46 Il faudrait faire payer au joueur 0,46 euros L''espérance de gain algébrique
serait alors nulle.
•• Calculer V( X ) = a² P( X =a ) + b² P( X = b ) + c² P (X = c ) - (E( X ) )² = E( X² ) - (E( X ) )²
( Variance de X )
V( X ) = ( - 6 )² × (186 / 203 ) + ( - 3 )² × ( 11 / 203 ) + 4² ×( 6 / 203 ) - ( - 1125 / 203)² = 6891 / 203 - ( -1125 / 203 )²
V( X ) = 1398873 / 41209 - 1265625 / 41209
V( X ) = 133248/ 41209
V( X ) ≈ 3, 23
Calculer σ( X ) =√ V( X ) ( Ecart type de X )
σ( X ) ≈ 1 , 79 euros
( Plus σ( X ) est important moins E( X ) n'a de signification. )
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