EXERCICE : Géométrie dans l'espace

                   INFO EXERCICE   DE  GEOMETRIE   DANS  L'ESPACE                        TS         Mai  2013

        EXERCICE :

                Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal on considère les points:

                    A( 3 ; 1 ; - 5 )  , B( 0 ; 4 ; - 5 ) , C( - 1 ;  2 ; - 5 )  et  D( 2 ; 3 ; 4 ).

                Pour chacune des affirmations suivantes, ci-dessous, préciser si elle est

                vraie ou si elle est fausse. aucune justification n'est demandée.

               On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par 

               réponse incorrecte. L'absence de réponse n'est pas pénalisée.

                Un éventuel total négatif est ramené à 0.

         1. Les points A , B  et D sont alignés.

         2. La droite ( AB ) est contenue dans le plan d'équation cartésienne:

                                              x + y = 4

         3. Une équation cartésienne du plan ( BCD ) est:

                                 18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0

        4. Les points A , B , C  et D sont coplanaires.

        5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan ( BCD ).

        6. Une représentation paramétrique de la droite ( BD ) est:

                      x = 1 - 2 k 

                      y  = 7 / 2  + k 

                     z = -  1 / 2  - 9 k                        k dans IR

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                  EXPLICATIONS:

      1. NON.

               En effet :    On a :   vect( A,B)   de coordonnées ( - 3 ; 3 ; 0 )

                                     vect( A , D ) de coordonnées ( - 1 ; 2 ; 9 )

                                 Ils n'ont pas les coordonnées proportionnnelles:

                                car        - 3 / - 1   =   3 / 2 = 0 / 9     est  faux

                  Donc:  les vecteurs  vect( A,B) et  vect( A , D )   ne sont pas colinéaires.

                    Conclusion :  Les points A , B  et  D ne sont pas alignés

          2.  OUI.

                     En effet :

                            Les deux point A et B sont dans le plan d'équation  x + y = 4

                            car       xA + yA = 4   et     xB + yB = 4

                                          c-à-d     3 + 1 = 4   et    0 + 4 = 4

                         Donc:

                           Conclusion : Toute la droite ( AB ) est dans le plan d'équation x + y = 4 

            3. OUI.

                   En effet :

                •  Chacun des points B , C,  D est dans le plan d'équation 

                      18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0

                     car les coordonnées de chacun des points B , C,  D vérifient l'équation

                              18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0

                    c-à-d       18 × 0  - 9 × 4 - 5 × ( - 5 ) + 11 =  - 36 + 36 = 0

                                   18  × ( - 1 ) - 9 × 2 - 5  × ( - 5 ) + 11 = - 36 + 36 = 0

                                   18 × 2 -  9 × 3  -  5 × 4 + 11 =  47 - 47 = 0

               • Les points B , C , D déterminent un plan car les vecteurs 

                    vect( BC)  et  vect( BD ) ont des coordonnées  ( - 1 ; - 2 ; 0 ) et 

                     ( 2 ; - 1 ; 9 ) respectivement non proportionnelles.

                                 - 1 / 2 ≠ 0 / 9

           Conclusion : Le plan ( BCD ) est bien d'quation cartésienne

                                    18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0

             4. NON.

                         Les points B , C , D  déterminent un plan auquel A n'appartient pas.

                        car le point A ( 3 ; 1 ; - 5 )  n'a pas ses coordonnées qui

                        vérifient  l'équation  18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0     du plan ( BCD ) .

                         En effet :

                          On a:       18 × 3  -  9 × 1 - 5 × ( - 5 ) + 11 =  81  

                        Donc:      18 × 3  -  9 × 1 - 5 × ( - 5 ) + 11   ≠ 0

                  Conclusion : Les points A , B ,c , D ne sont pas coplanaires

           5.  NON.

                              La distance du point A au plan ( BCD ) n'est pas 9.

                  En effet:

                     d( A(  3 1 - 5 ) ; ( BCD ) = |  18 ×  3  -  9 ×  1 - 5 × (  - 5 ) + 11|   /  √( 182 + ( - 9 ) 2 + ( - 5 )2 )

                    c-à-d   

                                d( A ; ( BCD ) = 81  / √ 430  

                        Or      81  / √ 430 ≈  3,90

                      Donc      d( A ; ( BCD )  < 9

                           Conclusion:  La sphère de centre le point A et de rayon   9   

                            n'est pas tangente au plan ( BCD ) .

                            (    Leur intersection est un cercle. )

               6. OUI.                  

                    • Par lecture des coefficients devant le réel k 

                     on lit les coordonnées ( - 2 ; 1 ; - 9 ) qui sont celles de l'opposé du

                     vecteur  vect( BD)  c-à-d  du vecteur vect (DB ).

                     La direction est donc bien celle de la droite ( BD ).

                   • Le point B( 0 ; 4 ; - 5 )  est obtenu pour k = 0,5.

                        En effet         0 = - 1 - 2 k    donne  k = 1 / 2 = 0, 5

                                               4 =  3,5 + k     donne  k =  4 - 3,5 = 0 ,5

                                               - 5 = - 0,5 - 9  k    donne  9 k = 4, 5      c-à-d    k = 0,5 

                      Conclusion : Une représentation paramètrique de la droite ( BD ) est bien :                                  

                       x = 1 - 2 k 

                       y  = 7 / 2  + k 

                       z  = -  1 / 2  - 9 k                        k dans IR

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