AIDE DV n° 6 1S 17 /02/10

        AIDE POUR LE DEVOIR  A LA MAISON   n° 6      1S         17 Février 2010    

           EXERCICE I  

           Partie A  

         1. Figure.

                                         

         2.  La droite D1  admet comme vecteur normal n'importe quel vecteur directeur de D.

           Or en mettant l'équation de D sous la forme  y = 2 x + 1  il est facile d'avoir un vecteur

          directeur de D.

           Rappel  :

           Une équation de  D1  est de la forme a x + b y + c = 0  avec ( a , b ) les

           coordonnées d'un vecteur normal à D1  .

           Pour déterminer la valeur de c on utilise le fait que les coordonnées du point M( 1; 2 ) vérifient

           l'équation a x + b y + c = 0. 

        3. Le point H appartient à D .

            Donc  yH = 2 xH + 1

         De plus le point H est sur la droite D1 .

         Ses coordonnées vérifient donc l'équation de  D1 .

         Cela fournit un système de deux équations linéaires dont les inconnues sont  xH  et  yH   .

         On peut le résoudre.

        La distance MH se trouve alors  à l'aide de √ (  (  xH - xM )² +  (  yH - yM )²  )  .

           Partie B     Cas général.

                  1 .     Point de vue géométrique. 

                                                            

            a. Il suffit de voir quel est le projeté orthogonal du vecteur vect( AM ) sur le vecteur vect( n ).

            b. La valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est le produit de leurs normes.

                 2 .     Point de vue analytique.                 

                a. L'indication est fournie . A savoir que le point A étant sur la droite D , ses coordonnées

                    vérifient l'équation de D. On a :  a xA + b xA + c = 0 .

                b. Il suffit de remplacer dans l'égalité obtenue au 1.b. le produit scalaire et la norme.

                c.   On a dans cette question: x = 1     y = 2       a = 2     b = - 1     c = 1 .

                    En remplaçant les lettres par les données numériques de la partie A on retrouve le résultat.

                 EXERCICE  II 

                 1. Il faut considérer pour le point E le système des deux équations des droites

                       D1  et   D3 . Puis le résoudre.  

                    Il faut considérer pour le point F le système des deux équations des droites

                       D1  et   D4 . Puis le résoudre.  

                 2. Il faut considérer pour le point G , le système des deux équations des droites

                       D2  et   D3 . Puis le résoudre.  

                    Il faut considérer pour le point H le système des deux équations des droites

                       D2  et   D4 . Puis le résoudre.  

                  3. Le centre Ω du cercle circonscrit  Γ au triangle EFG est situé sur les médiatrices

                     des côtés du triangle EFG.

                    La médiatrice Δ du segment [FE] est une droite dont l'équation réduite est très connue.

                    Il reste simplement à trouver l'équation réduite de la médiatrice Δ ' du segment [FG].

                    Il faut alors résoudre le système des deux équations des droites  Δ  et Δ '  pour avoir les

                     coordonnées du point  Ω .

                     Le rayon du cercle est la distance ΩF.

                    L'équation du cercle  Γ  peut alors être donnée.

                    Comme dans la dernière question on doit montrer que les points EFGH sont sur un cercle

                    qui ne peut  être que  Γ , il est possible dans cette question de voir que les points  H et G

                    sont sur  Δ  .

                     Γ apparaît donc comme le cercle de diamètre [HG].

                    L'équation de  Γ en résulte.

                    Il suffit de vérifier que les points F et E ont leurs coordonnées qui vérifient  l'équation de  Γ.

                 3. Il suffit de vérifier que le point H a ses coordonnées qui vérifient l'équation du cercle  Γ.

                    EXERCICE III 

                 • L'exercice est basé sur l'égalité:  MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2  

                   quand I est le milieu du segment [AB]. Elle est à utiliser plusieurs fois.

                   Le point I ici est le point O.

                   •  Un parallélogramme est un rectangle quand ses diagonales sont de même longueur.

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