LOI NORMALE EN TS 2014

                             LOIS NORMALES EN TS   2014  

         Préliminaire:

                    On considère dans la leçon une variable aléatoire X continue sur IR.

                      Cela veut dire que la v.a.r  X  prend toutes les valeurs de IR

                      ( Cela ne veut pas dire que X est une fonction continue sur IR.)

                     Pour toute v.a.r continue X sur IR on associe à une

                    fonction densité de probabilité f 

                     qui possède les particularités:

                                   • f est définie et continue sur IR.

                                   • f est positive sur IR.

                                   • L'aire sous la courbe de IR est 1  unités d'aire

                                          c-à-d  

                                       l'intégrale de f sur IR vaut 1.

                                            Int1 

                 Dès lors on écrit:                             

                                          Prbn           

                                          Prbn1 1

                                            Int3  

                               ( Les inégalités sont aussi bien strictes que larges sans conséquence)

          Ce qui distingue les v.a.r continues sur IR entre elles c'est uniquement

          la fonction densité de probabilité f  associée.  

             1.  Dans le cas où  X est une v.a.r continue sur IR de loi normale N( 0 ; 1 )

               la fonction densité de probabilité est :

                                       Fctgau   

               Dans ce cas E( X ) = 0     ( C'est le premier paramètre )

                                 σ(X ) = 1      ( c'est e second paramètre )

             2. Dans le cas où  X est une v.a.r continue sur IR de loi normale N( μ ; σ2 )

                 la fonction densité de probabilité est :

                                        Fgau

                    ( cette fonction n'est jamais utilisée et ne figure pas dans les livres de TS )

            3. Rappel:

                    E( a X + b ) = a E( X) + b

                   σ( a X  + b ) = a  σ( X )

                    pour tout a et tout b dans IR quand X

                    est une v.a.r.

           4. Information:

                 Quand on a  X une v.a.r continue sur IR de loi normale N( μ ; σ2 )

                 on décide en général de centrer et réduire X pour obtenir une nouvelle

                   v.a.r   Z  de loi normale N ( 0 ; 1 ).

                 Pour cela on pose:

                        Z = ( X -  E(X ) ) / σ( X )

                c-à-d 

                        Z = ( X - μ ) / σ 

                 On peut vérifier facilement que Z est d'espérance nulle ( c-à-d  Z est centrée )

                 et Z est d'écart type 1 ( c-à-d Z est réduite ).

                 En effet :

                             Dem

        5. Remarque:

            La fonction densité de probabilité f d'une v.a.r continue de loi normale N( 0 ; 1 )

            a la particularité d'être paire.

           C'est une courbe de Gaus.

                    Crbga

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