INFO EX 1 DS du samedi 30 avril 2015 TS1
EXERCICE 1
Partir A.
1.Traduire la situation par un arbre de probabilité.
Réponse:
2. Déterminer la probabilité de l'événement V ∩ R.
Réponse:
On a : P( V ) qui n'est pas nulle.
3. Démontrer que la probabilité de l'événement R es 0,0192.
Réponse:
On a :
4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée.
Quelle est la probababilité qu'il s'y soit rendu en bus?
Réponse:
Partie B: Le vélo
1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
Réponse:
T est de loi normale N( 17 ; 1,2 2 ).
donc directement à la calculatrice:
On considère : 2NDE VARS pour avoir DISTR
puis on considère la seconde ligne
1: normalpdf( parfois normalFdp(
2: normalcdf( parfois normalFRép(
normalcdf( 15 , 20 , 17 , 1.2 )
On obtient 0,9460
Conclusion : P( 15 ≤ T ≤ 20 ) ≈ 0,9460
2. Il par de son domicile à vélo à 7h40.
Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
Réponse:
Il dispose de 20 mn.
Donc il est en retard quand ( T > 20 ).
P(( T > 20 ) = P ( T ≥ 20 )
Avec la calculatrice P ( T ≥ 20 ) ≈ P( 20 ≤ T ≤ 1099 )
On considère : 2NDE VARS pour avoir DISTR
puis on considère la seconde ligne
1: normalpdf( parfois normalFdp(
2: normalcdf( parfois normalFRép(
normalcdf( 20 , 1099 , 17 , 1.2 )
On obtient 0,0062
Conclusion : P( R ) ≈ 0,0062
3. L'élève part à vélo. avant quelle heure doit-il partir pour
arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de 0,9? Arrondir le résultat à la minute près.
Soit t0 l'heure de départ.
8 − t0 est en minutes le délai dont il dispose pour arriver à l'heure.
Il est à l'heure ssi T ≤ 8 − t0
On veut que: P( T ≤ 8 − t0 ) = 0,9
Utilisons la calculatrice pour trouver 8 − t0 en minutes:
On considère : 2NDE VARS pour avoir DISTR
puis on considère la troisième ligne
1: normalpdf( parfois normalFdp(
2: normalcdf( parfois normalFRép(
3: invNorm( parfois FracNormale(
invNorm( 0.9 , 17 , 1.2 )
On obtient 18,5379 en minutes
Donc 8 − t0 ≈ 18,5379 mn ( 18 mn 32 s )
c-à-d t0 ≈ 8h − 18,5379 mn
c-à-d t0 ≈ 8h − 18 mn 32 s
Conclusion: t0 ≈ 7 h 41
Partie C: Le bus
Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours,
exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée
par une variable aléatoire T ' qui suit la loi normale
d'espérance µ = 15 et d'écart type σ'
On note Z ' la variable aléatoire égale à ( T ' − 15 ) / σ '.
On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes
pour se rendre au lycée est de 0,05.
1. Quelle loi la variable aléatoire Z ' suit- elle?
Réponse:
On a obtenu Z ' en centrant et réduisant T.
Donc:
Conclusion:
Z ' est de loi normale N( 0; 12 ) .
2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de
l'écart type σ ' de la variable aléatoire T '.
Réponse:
D'après le texte de l'énoncé on a P( T ' ≥ 20 ) = 0,05
c-à-d P( T ' ≤ 20 ) = 1 − P( T ' ≥ 20 ) = 0,95
On a donc: P( T ' ≤ 20 ) = 0,95
Mais :
Donc :
Avec la calculatrice :
On considère : 2NDE VARS pour avoir DISTR
puis on considère la troisième ligne
1: normalpdf( parfois normalFdp(
2: normalcdf( parfois normalFRép(
3: invNorm( parfois FracNormale(
invNorm( 0.95 )
On obtient 1,6449
c'est-à-dire 5 / σ ' ≈ 1,6449
Donc σ ' ≈ 5 / 1,6449
c-à-d σ ' ≈ 3,0398
Conclusion: σ ' ≈ 3,04
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