INFO 3 EX. BARYCENTRE 2

INFO 3 SUR LES EX 7 ET 8 DE LA LISTE


 

 

EX. 7        1. Exprimons K comme barycentre des points A, B ,C pour des coefficients à préciser.

                    K est caractérisé par  4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3  vect( BC ) est le vecteur nul.  

                   On a:

                    vect( AB ) = vect( AK ) + vect ( K B) = - vect( KA ) + vect( KB )

                    vect ( BC ) = vect ( B K ) + vect( KC ) = - vect( KB ) + vect( KC )

  Donc 

4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3  vect( BC ) = - 4 vect( KA ) - ( - vect( KA ) + vect( KB ) ) - 3 (  - vect( KB ) + vect( KC ) )

  Ainsi :    4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3  vect( BC ) =  - 3 vect( KA ) +  2 vect( KB ) - 3 vect( KC )      

            Or     4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3  vect( BC ) est le vecteur nul.          

  Ainsi    - 3 vect( KA ) +  2 vect( KB ) - 3 vect( KC ) égal au vecteur nul.

                c-à-d     3 vect( KA ) -  2 vect( KB ) + 3 vect( KC )    est le vecteur nul.

    Comme 3 - 2 + 3 est non nul

K est le barycentre des points pondérés   ( A , 3 ) , ( B , - 2 ) , ( C , 3 ) .
          .

              2.    Montrons que K est sur la médiatrice du segment [ AC].

                    Soit I le milieu du segment [ AC ].

                     Comme le triangle ABC est équilatéral cela revient à établir que K est sur la droite ( BI ).

                    Or I est le barycentre des points pondérés ( A , 3 ) et ( C , 3 ).

                    Ainsi K est le barycentre des points pondérés ( B , - 2 ) et ( I , 6 ).

                   Les point K , B et I sont bien alignés. 

 K est sur la médiatrice du segment [ AC].
               

             3. Trouvons la distance BK.

                  (BI)  est une "hauteur" dans le triangle équilatéral ABC.

                 La distance BI dans le triangle équilatéral ABC est égale à:        BI = ( a √3  ) / 2.

                On a par ailleurs    vect ( BK ) = ( 6  / ( - 2 + 6 )  ) vect( BI ) 

                    Donc BK = ( 6 / 4 ) BI  =  ( 3 / 2 ) ( a √3  ) / 2 =   ( 3 a √3 ) / 4   

  Pour a = 3 il vient :       BK = ( 9 √3 )/ 4