INFO EXERCICE 2 BAC S SESSION JUIN 2016
EXERCICE 2
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
on donne les points suivants:
A( 1 ; 2 ; 3 ) , B( 3 ; 0 ; 1 ) , C( − 1 ; 0 ; 1 ) , D( 2 ; 1 ; − 1 ) ,
E( − 1 ; − 2 ; 3 ) , F( − 2 ; − 3 ; 4).
Pour chaque affirmation , dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
• Affirmation 1: Les points A , B et C sont alignés.
NON.
En effet
On a:
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
• Affirmation 2:
Le vecteur est un vecteur normal au plan ( ABC).
OUI.
En effet.
Le plan ( ABC ) existe car A , B , C ne sont pas alignés.
•• est un vecteur non nul.
••c est orthogonal aux vecteurs
car :
• Affirmation 3: La droite (EF ) et le plan ( ABC) sont sécants et leur point
d'intersection est le milieu du segment [ BC ].
OUI.
En effet:
• • Déterminons le point I milieu de [BC].
On a : ( 3 + ( − 1 ) ) / 2 = 1 ( 0 + 0 ) / 2 = 0 ( 1 + 1 ) / 2 = 1
Le point I ( 1 ; 0 ; 1 ) est le milieu du segment [ BC ].
• • I est un point de la droite ( EF ).
On a :
On a comme représentation paramétrique de la droite ( EF ):
x = − 1 − t
y = − 2 − t t dans IR
z = 3 + t
Pour t = − 2 on obtient ( 1 ; 0 ; 1 ) les coordonnées de I.
•• B et C sont dans le plan ( ABC ), donc le segment [ BC ] aussi, ainsi que son milieu I.
Le point I est commun au plan ( ABC ) et à la droite ( EF ).
•• La droite ( EF ) n'est pas parallèle au plan ( ABC ) car
Ainsi le point I est le seul point commun au plan ( ABC ) et à la droite ( EF ).
( Remarque : On pouvait aussi chercher une équation du plan ( ABC): y − z + 1 = 0 puis trouver
le paramètre t = − 2 pour le point commun avec la droite ( EF ) enfin
vérifier avec sa représentation paramétriquequeque cela donne
les coordonnées ( 1 ; 0 ; 1 ) du point I )
• Affirmation 4: Les droites ( AB) et ( CD ) sont sécantes.
NON
En effet:
Si c'était le cas les points ABCD seraient coplanaires situés dans le plan ( ABC)
de vecteur normal ..
Il suffit alors de montrer que le point D n'est pas dans le plan (ABC ).
# Si l'on dispose d'une équation du plan ( ABC ): y − z + 1 = 0 il suffit de constater
que les coordonnées du point D( 2 ; 1 ; − 1 ) ne la vérifient pas.
# Sinon en disant que
on montre que D n'est pas dans le plan ( ABC ).
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