INFO EX 2 S 2016

                                                         INFO  EXERCICE 2      BAC S    SESSION JUIN 2016

              EXERCICE 2

        Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé

         T8 

           on donne les points suivants:

        A( 1 ; 2 ; 3 )  ,  B( 3 ; 0 ; 1 )  , C(  − 1 ; 0 ; 1 ) , D( 2 ; 1 ;  − 1 ) ,

        E(  − 1 ;  − 2  ; 3 )  , F(  − 2 ; − 3 ; 4).

    Pour chaque affirmation , dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

     une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

    •   Affirmation 1: Les points A , B et C sont alignés.

             NON.

             En effet 

          On a:

              T9 1

            Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.  

           T10

    • Affirmation 2:

        Le vecteur T11 1  est un vecteur normal au plan ( ABC).

             OUI. 

                         En effet.

                     Le plan ( ABC ) existe car A , B , C ne sont pas alignés.

                     ••T12 est un vecteur non nul.     

                    ••c   est orthogonal aux vecteurs

                          T9 1

                            car :

                        T13 1

                Affirmation 3: La droite (EF ) et le plan ( ABC) sont sécants et leur point

                 d'intersection est le milieu du segment [ BC ].

                   OUI.

                 En effet: 

                       •  Déterminons le point  I milieu de [BC].

                    On a :    ( 3 + ( − 1 ) ) / 2 = 1         (  0 + 0 )  / 2 = 0                (  1 + 1 ) / 2 = 1

                     Le point  I ( 1  ; 0 ; 1 ) est le  milieu du segment [ BC ].

                      •  I  est  un point de la droite ( EF ).

                           On a :

                                  T14

                        On a comme représentation paramétrique de la droite ( EF ):

                             x = − 1 − t

                            y = − 2  − t                t dans IR

                            z = 3 +  t

                          Pour  t = − 2 on obtient     ( 1 ; 0 ; 1 ) les coordonnées de I.

                 •• B et C sont dans le plan ( ABC ), donc  le segment [ BC ] aussi, ainsi que son milieu I.

                      Le point I est commun au plan ( ABC ) et à la droite ( EF ).

                  •• La droite ( EF ) n'est pas parallèle au plan ( ABC ) car 

                          T15

              Ainsi le point I est le seul point commun au plan ( ABC ) et à la droite ( EF ).

            ( Remarque : On pouvait aussi chercher une équation du plan ( ABC):  y − z + 1 = 0 puis  trouver

             le paramètre  t = − 2 pour le point commun avec la droite ( EF ) enfin

              vérifier avec sa représentation paramétriquequeque  cela  donne

              les coordonnées ( 1 ; 0 ; 1 ) du point I )

                Affirmation 4:    Les droites ( AB)  et ( CD ) sont sécantes.

                   NON

              En effet:

               Si c'était le cas les points ABCD seraient coplanaires situés dans le plan ( ABC)

               de vecteur normal T11 1..

                Il suffit alors  de montrer que le point D n'est pas dans le plan (ABC ).

              # Si l'on dispose d'une équation du plan ( ABC ): y − z + 1 = 0 ​  il suffit de constater 

                   que les coordonnées du point D( 2  ;  1  ;  − 1 ) ne la vérifient pas.

              # Sinon  en disant que

                    T16

                 on montre que D n'est pas dans le plan ( ABC ).

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