PROBLEME 1S OCT. 08
Partie A Le but est de prouver la formule :
12 + 22 + ............ + n2 = ( n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ) / 6
où n est un entier naturel non nul.
Rappel: a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + a b + b2 )
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 - a b + b2 )
Soit P( x ) = a x3 + b x2 + c x + d où a, b , c , d sont des réels et a non nul.
1. Déterminer a , b, c, d de façon que P( x + 1 ) - P( x ) = x2 pour tout réel x
et p( 1 ) = 0
Pour cela écrire P( x + 1 ) = ....
P( x ) = .....
Puis P( x + 1 ) - P( x ) = .......
Factoriser alors n + 1 puis procéder à une identification.
2. Montrer que 12 + 22 + ............ + n2 = P( n + 1)
pour tout entier naturel n non nul.
3. Etablir alors: 12 + 22 + ............ + n2 = ( n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ) / 6
pour tout entier naturel n non nul.
4. Application: Calculer la somme des carrés des des dix premiers entiers
naturels non nuls.
Partie B 1. Résoudre dans l'ensemble des réels : ( x + 2 ) / ( x + 1 ) ≥ 5 x. 2. Soit la fonction f : x→3 x2 - 7 x - 20 représentée par la parabole P. Soit la fonction g : x→ x2 - 2 x + 5 représentée par la parabole P' . ( Les courbes ne sont pas demandées . ) a. Résoudre f( x ) = g( x ) dans l'ensemble des réels. b. Résoudre g( x ) = 0 dans l'ensemble des réels. c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes P et P'.