Sujet Commun 1S 04 / 04 /09

  SUJET  COMMUN  1S          4 avril 2009

       EXERCICE 1       QCM

              Chaque question comporte une seule réponse exacte.

              Vous devez cocher la case correspondante.

         1. Soit la fonction f : x → 1 / ( 2 x )  définie sur IR*

            Elle admet comme fonction dérivée :          

         f ' : x  →  - 1 / ( 2 x )²       

        f ' :  x  →  -  1 / ( 2 x² )     

        f ' :   x  →  - 1 / x²

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         2. Soit f une fonction définie sur IR*+   telle que  f( 1 ) = 0  et de fonction dérivée

             f ' :   x  →  1 / x .

       La fonction  g : x  →  f( 2 x + 1 )   a pour fonction dérivée sur IR*+   

       la fonction g ' :  x  → 1 / ( 2 x + 1 ).    

     L'équation réduite de la tangente à la courbe ( C ) de la fonction f au point d'abscisse

         1 est : y = - x + 1.    

   Pour tout réel h voisin de 0 on a l'approximation affine

                   f( 1 + h ) ≈ h                            

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   3.  soit la fonction f : x  → 1 / ( 3 - x ) définie sue IR - { 3 }.  

    lim f( x) = 1 / 3

     x→ + ∞

      lim f(x ) = + ∞

      x→ 3

     lim f( x ) = -  ∞                  

     x → 3+                                                                                                                

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 4. Soit la fonction f :  x →  x² + x + 2  

     lim 1 / f( x )  = 0

    x   → 1

     lim 1 / f( x ) = + ∞

 

     x   → 1

        lim 1 / f( x ) = 0                    

        x   → +                                             

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     5. La droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe de la fonction:  

         f :  x   → x + 1 + √x

           f :  x   → ( x² + x - 2 ) / x    

           f :  x   → x + 1 + x / ( 2 x + 1 )

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        EXERCICE 2 

                                   Les trois questions sont indépendantes.

                1. Soit la fonction  f : x  →  x +(  3 / x  ) - ( 1 / x² )    définie sur IR•  .           

                   a. Déterminer les limites de f en -     et  en  +    .

                   b. Justifier les deux affirmations suivantes:

                         •  f( x )  =  ( x3 + 3 x - 1 ) / x²                 pour tout x dans  IR•  .       

                         •  La courbe de f admet l'axe des ordonnées comme 

                            asymptote verticale.

                  2.   Soit la fonction f : x →   - x² + 2 x - 3 définie sur l'intervalle [ 0 , ∞ [ .

                       a. Expliquer pourquoi un passage à la limite, directement, conduit à une forme

                            indéterminée en +  .

                        b. Pour tout x non nul, mettre en facteur x² dans l'expression de la fonction f .

                            En déduire la limite de la fonction f en + .

                   3. Soit la fonction f :  x →   1 / ( x² - 4 ) définie sur IR - { - 2 ; 2 }.

                           Montrer que la courbe de f admet trois asymptotes parallèles aux

                           axes  du repère.  On précisera ces asymptotes .

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              EXERCICE 3

                               Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                              Soit les points A( - 4 : 0)  et B( 2; 6 ).

                             Soit M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.

                          1. Montrer que : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56.

                           2. Quel est l'ensemble des pints M du plan tels que  MA² + MB² = 40 .

                                Représenter ( E ).

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            EXERCICE 4

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                    Placer les points A( - 1 ; 0 )  et B ( 4 ; 0 ).

                    Choisir un point C non aligné avec A et B .

                     M désigne un point quelconque du plan.

                    On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie     vect(AH). vect(AB) = - 10  .

  1. a. Que vaut la distance AB?

          Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?

      b. Que vaut la distance AH ? Faire une figure en plaçant le point H.

   2. Quel est l'ensemble ( Γ )des points M du plan tels que  vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?

   3. Comparer les réels  vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   et  vect(AM) . vect( AB ). 

   4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 équivaut à vect( HM ) . vet( AB) = 0.

       Quel est l' ensemble des point M du plan tels que   vect( AM ) . vect( AB) = - 10  ?

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       EXERCICE 5

      Soit le plan un parallélogramme ABCD direct.

       On note :  I le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 ).

                        J le barycentre des points pondérés ( C , 1 ) et ( D , 2 ).

                        K le milieu du segment [ BC ] .

                        M désigne un point quelconque du plan.

              1. a. Construire les points I et J.

                       Etablir que : vect( BI ) = vect( JC )

                   b. Quel est le milieu du segment [ IJ ]?                                  

                   c. Réduire chacun des vecteurs - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) et  vect( MC ) + 2 vect( MD ) .

              2.a. Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :

                       ||  - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) ||  =  ||  vect( MC ) + 2 vect( MD ) || .                    

                   b. Justifier que le point K est dans ( L ) . Représenter  ( L ) .                        

              3. a. Trouver l'ensemble des points M du  plan  tels que:

                     ( vect( MB ) + vect( MC )  ) . vect( MA ) = 0 .                                                            

                     Représenter cet ensemble .

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