INFO. 6 EX. SUR LES BARYCENTRE 2
EX. 5
Soit le triangle ABC. Trouver l'ensemble des points M du plan tels que : vect( MA ) + vect( MB) + vect( MC ) et vect(MB) + 2 vect( MC) soient de même norme. ( On réduira chacun des vecteurs. )
REP • Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 1 ) , ( C , 1 ) c-à-d G est le centre de gravité du triangle ABC. D'après la propriété fondamentale: vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 ) vect( MG) c-à-d vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = 3 vect( MG) • Soit H le barycentre des points pondérés ( B ,1) , ( C , 2 ). H existe car 1 + 2 ≠ 0. D'après la propriété fondamentale: vect( MB ) + 2 vect( MC ) = 3 vect( MH ) L'égalité des normes des vecteurs 3 vect( MH ) et 3 vect( MG ) donne 3 MH = 3 MG c-à-d MH = MG Conclusion: L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [ GH ].