INFO 6 EX. BARYCENTRE 2

INFO.  6  EX. SUR LES BARYCENTRE 2


     EX. 5  

             Soit le triangle ABC.

            Trouver l'ensemble des points M du plan tels que :

             vect( MA ) + vect( MB) + vect( MC ) et  vect(MB) + 2 vect( MC)

             soient de même norme.

                   ( On réduira  chacun des vecteurs. )


 

     REP         • Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 1 ) , ( C , 1 )

                         c-à-d       G est le centre de gravité du triangle ABC.

                         D'après la propriété fondamentale:

                          vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 ) vect( MG)

                          c-à-d             vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = 3 vect( MG)

                       • Soit H le barycentre des points pondérés ( B ,1) , ( C , 2 ).

                            H existe car 1 + 2 ≠ 0.

                           D'après la propriété fondamentale:

                            vect( MB ) + 2 vect( MC ) = 3 vect( MH )

                           L'égalité des normes des vecteurs  3 vect( MH ) et 3 vect( MG )

                            donne    3 MH = 3 MG

                              c-à-d          MH = MG

       Conclusion:    L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [ GH ].