INFO 1 DS n° 6 1S1 17/02/10

                        INFO     DS n° 6               1S1   mercredi 17 février 2010            

                         EXERCICE 1        8 POINTS
              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O; vect( i ) , vect j ) ).
              Unité graphique : 2 cm
              Soit la fonction f : x → ( x² - x + 1 ) / x  définie sur IR*. 
              Soit ( C ) la courbe de la fonction f .
        1. Trouver trois réels a , b , c tels que :  f( x ) = a x + b + c / x   pour tout x dans IR* .

            On a en divisant par le réel non nul x chaque terme de x² - x + 1 il vient :

             ( x² - x + 1 ) / x  = x - 1 + 1 / x    pour tout réel x non nul.

              Donc   f( x ) =  x - 1 + 1 / x       pour tout réel x non nul.

            Conclusion:    a = 1       b = - 1     c = 1    
 
        2. On sait, d'après le cours :
               • La fonction affine x→  a x + b    admet pour fonction dérivée la fonction sur x→ a  sur IR.
               • La fonction inverse admet comme fonction dérivée sur  IR* la fonction x →  - 1 /x²   . 
               • Sur un intervalle I la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables est
                  la somme des fonctions dérivées des deux fonctions.

                   On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f sur IR*.
                   Montrer que f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²  pour tout x dans IR*.

                  Soit x dans IR*.

                On a :       f( x ) = u( x ) + v( x )      avec   u( x ) = x - 1   et  v( x ) = 1 / x

                 Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR*.

                On a :    u ' ( x ) = 1  et  v ' ( x )  - 1 / x²

                 Donc :    f ' ( x ) = u ' ( x ) + v ' ( x )  

                 c-à-d          f '( x ) = 1 +  ( - 1 / x² )

                 c-à-d      f ' ( x ) = ( x² - 1 ) / x² 

             Conclusion:    f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²  pour tout x dans IR*.              

         3. Donner le signe de f ' ( x  ) suivant x dans  IR*.

                   ( x² - 1 ) / x²    est du signe de ( x - 1 ) (x + 1 ) pour tout x dans IR*.

                  Or  ( x - 1 ) (x + 1 )  est un trinome du second degré qui s'annule pour x = - 1 ou x = 1.

                   Le coefficient de x² est 1.

                    Ainsi :  

 x          - ∞       - 1           0            1        +          +∞     
x² - 1                   +        0            -             0         +
 f ' ( x )                             +        0     -    ||    -       0        +  

        4. On admet que si sur un intervalle I la fonction dérivée d'une fonction est positive
             ( respectivement négative ) alors la fonction est croissante sur I ( 
respectivement

              décroissante sur I ) .

            Donner le sens de variation de f .

             • Comme f '( x) ≥ 0 pour tout  x dans les intervalles  ] - ∞  ,  - 1 ]  et  [ 1 ,  +∞ [ :

               f est croissante sur les intervalles  ] - ∞  ,  - 1 ]  et [ 1 ,  +∞ [    

              • Comme f '( x) ≤ 0 pour tout  x dans les  intervalles [ -1 , 0 [ et ]0 , 1 ]:

                   f est décroissante sur les intervalles [ -1 , 0 [ et ] 0 , 1 ]:       

         5. On note Δ la droite, tangente à la courbe ( C ) , au point d'abscisse 1.

            Quel est son coefficient directeur ? Donner une équation de cette droite  Δ.

             On a  f '( 1 ) = 0 . 

             Le coefficient directeur de Δ est 0.   

             La tangente est horizontale.  Tous lespoints de Δ ont pour ordonnée f( 1) = 1

                 Une équation de Δ est  y = 1         

        6. Parmi les courbes suivantes indiquer celle de f.

                 La bonne courbe de f est celle de la figure 1 .

           Puis reproduire celle de la fonction f sur IR*+ ?

                                              Figure 1     Ck

                                     Figure 2     Ch

                                   Figure 3     Cρ

       7. a. Trouver une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point A( 2 ; 1,5 )

                 On a;    y = f '( 2 ) ( x - 2 ) + f( 2 )

                  Or f '( 2 ) = 3 /4      f( 2 ) = 3 / 2

                  En reportant on a :

                    y = 3 / 4 ( x - 2 ) + 3 / 2

                c-à-d     y = 3 / 4 x  - 3 / 2  + 3 / 2

                    Conclusion :  T : y = 3 / 4 x       

              b. T passe-t-elle par O et A ?

                     OUI         la tangente T passe par l'origine O car l'ordonnée à l'origine est nulle.

                    OUI         la tangente T passe par le point A puique c'est la tangente en A à la courbe C.

                       T se trace en traçant la droite ( AO ).           

              c. Recherche d'une équation de D '.

                  La droite D' a un coefficient directeur m tel que  ( 3 / 4 ) m = - 1

                   donc m = - 4 / 3

                   Son équation est de la forme  y = (- 4 / 3 ) x  + p

                   Les coordonnées du point A vérifient cette équation.

                   Donc    1 , 5 = ( - 4 / 3 ) 2 + p

                 c-à-d      p =( 3 / 2  ) + ( 8 / 3 ) = ( 9 + 16 ) / 6 = 25 / 6 

                       Conclusion : D ' ; y = ( - 4 / 3 ) x + ( 25 / 6 )     

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