INFO LISTE 1 EX PROB 1S 09

 INFO LISTE 1 D'EX SUR  LES PROB;                  1S                 JUIN 2009

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            Ex.1  

               On a interrogé 100 personnes au téléphone pour leur demander combien de

               temps, en heures, elles avaient la veille regardé la télé.

               15 personnes ne l'ont pas regardée, 20 personnes l'ont regardée une heure,

               35 personnes l'ont regardée 2 heures, 20 personnes l'ont regardée 3 heures, 10 personnes

               l'ont regardée 4 heures.

                Faire un tableau définissant la loi de probabilité.                 

Nombre d'heures   0   1    2   3 4
Probabilités                                              

               Quelle est la probabilité qu'une personne aît écouté la télé la veille au moins 2 heures ?

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  Réponse:      On est dans une situation d'équiprobabilité.

                       La probabilité d'un événement est le quotient du nombre de cas favorables

                       par le nombre de cas possibles.

                      Ainsi :

               15   personnes  sur 100 personnes ne l'ont pas regardée

               20 personnes sur 100 personnes  l'ont regardée une heure..

               35 personnes  sur 100 personnes l'ont regardée 2 heures.

               20 personnes sur 100 personnes l'ont regardée 3 heures.

               10 personnes sur 100 personnes l'ont regardée 4 heures.

                Donc le  tableau définissant la loi de probabilité est :                

Nombre d'heures   0   1    2   3 4
Probabilités       15/100      20/100           35/100         20/100          10/100   

               Donnons  la probabilité qu'une personne aît écouté la télé la veille au moins 2 heures ?

                  35 / 100   + 20 / 100 + 10 / 100  = 65 / 100         

Conclusion :      65 / 100  est la probabilité qu'une personne aît écouté pendant

au moins deux heures la télé la veille.    

 

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   2.EX.   On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.

                     Soit A l'événement : << La carte tirée est un roi >>.

                     Soit B l'événement : << La carte tirée est un trèfle >>.

                     Soit C l'événement : << La carte tirée est une figure >>.( valet, dame,roi)

                     a. Définir A ∩ B , A ∩ C ,  B U C.

                     b. Donner Card( A ) , Card( B ) , Card( C ) , Card(  A ∩ B ) .

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  Réponse: 

                  a On a :      A ∩ B = { Le roi de trèfle }

                                      A ∩ C  = { Roi de trèfles, Roi de pique , Roi de Carreau , Roi de coeur }

                                      B U C = { Les trèfles , les figures }

                   b  On a:            Card( A ) = 4              car il y a 4 rois.

                                             Card(  B ) = 8              car il y a 8 cartes de trèfle

                                               Card( C ) =12                car il y a 12 figures ( 3 par catégorie )

                                              Card ( A ∩ B )  = 1         car il n'y a qu'un seul roi de trèfle.         

                      Remarquons  en dehors des questions posées:

                          Card( A ∩ C ) = 4

                           B ∩ C    =  { Valet de trèfle , Dame de trèfle , Roi de trèfle }

                            Card( B ∩ C ) = 3

                          Card(  B U C ) = Card( B ) + Card( C ) - Card( B ∩ C)  = 8 + 12 - 3 = 17

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         3.EX.          Soit A , B deux parties d'un ensemble fini E.

                      a.  Schématiser à l'aide de diagrammes les ensembles:

                            A U B = A U ( ∩ B )

                              ( ∩ B ) U ( A ∩ B ) = B

                      b. Que peut-on dire de ∩ B  et A ? Quelle conséquence y a-t-il sur Card( A U B ) ?

                          Que peut-on dire de  ∩ B  et A ∩ B ? Quelle conséquence y a-t-il sur Card( B ) ?

                       c. Justifier : Card( A U B ) = Card( A ) + Card( B ) - Card(  A ∩ B )

                       d. Que se passe-t-il quand  A ∩ B =  Ø  ?

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 Réponse:

                a.

                    ••  Schéma pour visualiser   A U B = A U ( ∩ B )

                         ( En rouge A  , en bleu    ∩ B )

                      ••  Schéma pour visualiser   ( ∩ B ) U ( A ∩ B ) = B

 

         En vert     A ∩ B    et   en bleu  ∩ B .

        b. Regardons ce que l'on peut dire.

           ••   On peut dire:         A et  ( ∩ B )   sont disjoints. 

                  Ainsi:             Card(  A U ( ∩ B ) )  = Card ( A ) + Card( ∩ B ).

                   c-à-d              Card(  A U B ) = Card ( A ) + Card( ∩ B ).

          ••  De même  ( ∩ B )  et  ( A ∩ B ) sont disjoints.

              Donc   Card( ( ∩ B ) U ( A ∩ B )  ) = Card( ( ∩ B ) + Card(  A ∩ B ) )

              c-à-d                   Card ( B ) = Card( ( ∩ B ) + Card(  A ∩ B ) )

         c. Montrons la formule .

                     On a d'après la question précédente: 

                            Card(  A U B )  = Card( A ) +  Card(∩ B ).       ( 1 )

                            Card( ( ∩ B ) + Card(  A ∩ B ) ) = Card ( B )        ( 2 )

              Par somme  de ( 1 ) et ( 2 ) membre à membre il vient:

              Card(  A U B ) +  Card( ( ∩ B ) + Card(  A ∩ B ) ) = Card ( A ) + Card( ( ∩ B )   + Card( B )

                Ainsi en simplifiant par    Card( ( ∩ B )   et en transposant Card(  A ∩ B ) ) il vient :

          Conclusion:   Card(  A U B )  = Card ( A )  + Card( B ) - Card(  A ∩ B ) )

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            4. EX.   Soit  Ω = { w1   , .....,  wn  } un univers des possibles . ( n entier naturel non nul.)

                        On se place dans une situation d'équiprobabilité c'est-à-dire que

                         P( { w1 } ) =   .....,  = P( { wn } ) .

                      a. Pourquoi a-t-on  P( { wk } ) = 1 / n    pour tout entier k  entre 1 et n ?

                      b. Soit A un événement distinct de Ø. Pourquoi a-t-on  P( A ) = Card( A ) / Card( Ω ) ?

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  Réponse:

               a. On a              P( { w1 } ) =   .....,  = P( { wn } )                     ( 1 )

                                et      P( { w1 } ) +  ...........   +   P( { wn } ) = 1        ( 2 )

                   Donc   ( 1 ) et ( 2 )   donnent :

                              n × P( { w1 } )  =1       et       P( { w1 } ) =   .....,  = P( { wn } )

                  c-à-d    P( { w1 } )  =1 / n        et       P( { w1 } ) =   .....,  = P( { wn } )

                 Conclusion:   P( { w1 } ) =   .....,  = P( { wn } )   = 1 / n   =  1 / Card( Ω) 

                 On peut dire que :

                             P( { wk } ) = 1 / n    pour tout entier k  entre 1 et n .

              b. . Soit A un événement distinct de Ø.

                      A est soit un événement élémentaire de probabilité 1 / Card( Ω )  

                      soit la réunion de  Card( A ) événements élémentaires, chacun

                      de probabilité 1 / Card( Ω )  .

                      Dans chacun de ces cas on peut donc dire que l'on a:

                                          P( A ) = (  1 / Card( Ω )  ) ×  Card( A )

              D'où     P( A ) = Card( A ) / Card(  Ω )

               C'est la formule que l'on utilise dans le cas d'une situation d'équiprobabilité.

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           5.EX.  On tire deux boules successivement sans remise d'une urne qui contient 10 boules.

                      ( 3 boules rouges et 7 boules noires. )                         

                       a. Quel est l'univers des possibles Ω ? 

                      b. Donner Card( Ω ). ( On pourra remplir le schéma :                                                                                                                       

                                                                                                                                                1ère     2 ième      

                        c. Soit l'événement  A : <<   Obtenir deux boules de la même couleur.>>

                             Que contient  ?    Donner Card( A )   .

                        d. Puis donner P( A ) . ( On admettra que l'on est dans une situation d'équiprobabilité, c-à-d, 

                            P( A ) = Card( A ) / Card(  Ω ) .

                        e.  Quelle est la probabiliré d'avoir deux boules qui ne sont pas de la même couleur ?

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 Réponse:

                        a.   Ω  , l'univers des possibles est l'ensemble des couples ( a , b )

                             de deux boules distinctes a et b  de l'urne.

                        b.    On a le schéma :                                                                                  

  10    9

                                                                                                          1ère     2 ième       

                            Card( Ω) = 10  ×  9 = 90

                              Conclusion :  Card( Ω) =  90

 

                     c.    A est la réunion de deux partie de Ω.

 

         • La  partie des couples de deux boules distinctes noires. Elle est de cardinal    7  ×  6.

         •   La  partie des couples de deux boules distinctes  rouges. Elle est de cardinal   3  ×  2.

         Ainsi  Card( A ) =   42 + 6 = 48

       Conclusion:      Card( A ) = 48     

       d. Comme on est dans une situation d'équiprobabilité on a

            P( A ) = Card( A ) / Card( Ω  )

            Donc:   P( A ) = 48 / 90  = 24 / 45 = 8 / 15

          Conclusion:      P A ) = 8/ 15         

       e. L'événement contraire à A est .

           Donnons donc  P(    )  = 1 - P( A ).

          On a :      P( = 1 -  8 / 15  = ( 15 - 8 ) / 15

                  Conclusion      P( =   7 / 15 

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   6.EX .   Reprendre l'exercice  précédent  en considérant le tirage simultanément 

              deux boules de l'urne.

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      Réponse:

         Les probabilités sont les mêmes.  En effet les cardinaux sont divisés par 2.

         Il y a en effet  2 = 2!  deux façons d'ordonner un ensemble de deux éléments.

        Il faut donc diviser par 2 chacun des cardinaux trouvés dans l'exercice prédédent.        

                Card( Ω )   = 90 / 2

                 Card( A )  = 48 / 2                

        Le quotient  Card( A ) /  Card( Ω )  ne change donc pas.

         P( A ) demeure inchangée donc P(  )  aussi.

          Conclusion:   P( A ) =  8 / 15

                                P( = 7 / 15 

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     7.EX.      Reprendre l'exercice précédent en considérant le tirage successivement avec remise

                            des deux boules de l'urne.

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Réponse:           

             a.   Ω  , l'univers des possibles est l'ensemble des couples ( a , b )

                             de deux boules  a et b  de l'urne.

             b.    On a le schéma :                                         

  10    10

                                                                                                        1ère    2 ième                                                                                                          

                   Card( Ω ) = 10 × 10 = 100

                    Conclusion: Card ( Ω ) = 100

            c.    A est la réunion de deux partie de Ω.

         • La  partie des couples de deux boules  noires. Elle est de cardinal    7  ×  7 

         •   La  partie des couples de deux boules   rouges. Elle est de cardinal   3  ×  3.

         Ainsi  Card( A ) =   49 + 9 = 58

       Conclusion:      Card( A ) = 58     

       d. Comme on est dans une situation d'équiprobabilité on a

            P( A ) = Card( A ) / Card( Ω  )

            Donc:   P( A ) = 58 / 100  =   58 %

          Conclusion:      P A ) = 58/ 100         

       e. L'événement contraire à A est .

           Donnons donc  P(    )  = 1 - P( A ).

          On a :      P( = 1 -  58 / 100  = ( 100 - 58 ) / 100 = 42 %

                  Conclusion      P( =  42/ 100         

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