INFO EX 2 DS COMMUN 4/4/09 S

                       INFO EXERCICE 2 DS COMMUN  1S   4/4/09

      EXERCICE 2 

                                   Les trois questions sont indépendantes.

                1. Soit la fonction  f : x  →  x +(  3 / x  ) - ( 1 / x² )    définie sur IR•  .           

                   a. Déterminer les limites de f en -     et  en  +    .

                    • Comme     lim  1 / x = 0    et     lim  1 / x² = 0    on a :    lim (  x +(  3 / x  ) - ( 1 / x² )  ) =  + ∞  

                                       x → + ∞                    x → + ∞                         x → + ∞

                       Conclusion;   lim  f( x ) =+ ∞        

                                              x → + ∞      

                        •  Comme     lim  1 / x = 0    et     lim  1 / x² = 0    on a :    lim (  x +(  3 / x  ) - ( 1 / x² )  ) =  - ∞  

                                           x → -  ∞                    x → - ∞                         x → - ∞

                       Conclusion;   lim  f( x ) = - ∞        

                                              x → - ∞      

                   b. Justifier les deux affirmations suivantes:

                         •  f( x )  =  ( x3 + 3 x - 1 ) / x²                 pour tout x dans  IR•  .       

                            Il suffit de faire une réduction au même dénominateur.

                         •  La courbe de f admet l'axe des ordonnées comme 

                            asymptote verticale.

                              lim  ( x3 + 3 x - 1 ) = -1      et              lim x²  = 0+                     

                              x → 0                                                x → 0                              

                                Donc    lim (  x3  + 3 x - 1 ) / x²  = -  ∞  

                                             x → 0 

                          Conclusion :     lim  f( x ) = - ∞        

                                                  x → 0      

                  2.   Soit la fonction f : x →    - x² + 2 x - 3 définie sur l'intervalle [ 0 ,    ∞ [ .

                       a. Expliquer pourquoi un passage à la limite, directement, conduit à une forme

                            indéterminée.

                            En +∞   on obtiendrait   - ∞  + ( + ∞  ) - 3 .    ce qui ne veut rien dire

                        b. Pour tout x non nul, mettre en facteur x² dans l'expression de la fonction f .

                            En déduire la limite de la fonction f en + .

                       On a :        f(x ) = x² ( -1 + 2 / x - 3 /  x² )    pour x non nul.

                       On a :           lim(  -1 + 2 / x - 3 /  x² )  = - 1       et           lim x² = +∞ 

                                x → +∞                                                       x → +∞ 

                                lim ( x² (   -1 + 2 / x - 3 /  x² ) )  = - ∞ 

                                x → +∞                                                      

                              Conclusion:          lim f( x ) = - ∞ 

                                                           x → +∞ 

                   3. Soit la fonction f :  x →   1 / ( x² - 4 ) définie sur IR - { - 2 ; 2 }.

                           Montrer que la courbe de f admet trois asymptotes parallèles aux

                           axes  du repère.  On précisera ces asymptotes .

                         On a besoin du signe de 4 - x²

x  - ∞                        -2               2                                        +∞ 
4 - x²             +              0    -       0             +
                               • On a:   lim f( x ) = 1 / +∞   =  0   

                                            x → +∞ 

                                • On a:   lim f( x ) =  1 / 0+    = +∞    

                                              x → 2+    

                                               lim f( x ) =  1 / 0-    = - ∞    

                                              x → 2  

                                 • On a:   lim f( x ) =  1 / 0-    = - ∞    

                                              x → - 2 

                                               lim f( x ) =  1 / 0+    = + ∞    

                                              x → - 2 

                           Cela permet déjà de conclure. On a bien le résultat.

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