INFO EX 3 et 4 DV n° 6 du 13 déc. 2014

                      INFO                  DV n° 6             du 13 déc. 2014    TS1

    EXERCICE 3

       Soit la fonction f définie sur IR − { 3 } d'expression :

         12gampd4

         47jy47 1

     On admet également les information suivantes:

      • La droite D : y = 4 est une asymptote horizontale à la courbe ( C ) de f en + ∞.

     •  f ' ( 1 ) = - 1 / 2

    1. En déduire les valeurs de

                 Df145poi789otr

    2. Etudier les limites de f aux bornes de ses intervalles de définition.

    3. Donner le tableau de variation de f.

-----------------------------------------------------------------------------------

    REPONSE:

                        4nk

      1. Recherche de 

             Df145poi789otr

        Comme f est une fonction rationnelle sa limite en + ∞ est celle du quotient

          simplifié de ses termes de plus haut degré.

          Or le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est:

                1975kga47      

         Donc  :

                   14ui89kj 

          Or la courbe( C ) de f admet la droite D: y = 4 comme asymptote en  + ∞.

         On en déduit que :

                 14ui89kj45  

    Ainsi :

                           1298ueabk

      On a donc : 

                4573lkjh47

     f est définie et dérivable sur son domaine de définition.

    Soit x ≠ 3

    On a très rapidement 

    1nk

    Ainsi :

      2nk

      Or   f ' ( 1 ) = − 1 / 2

       Donc          ( − 12 − b ) / 4 = − 1 / 2 

     c-à-d            12 + b =   2

    c-à-d             b  =  − 10  

         Conclusion : 

       3nk

    2.  Limites aux bornes de ] − ∞ , 3 [ U ] 3 , + ∞ [ .

     • On connaît déjà la limite en   + ∞ par hypothèse.

       Comme le quotient simplifié des termes de plus haut degré

      est 4 , qui ne dépend pas de x,  on aura en  −  ∞  la même limite pour f qu'en + ∞

     c-à-d  4.

           lim f    =          lim f   =    4    

         x    −           x   →

     • En 3 à gauche et à droite.

     On a :

        lim   ( 4 x − 10 ) / ( x − 3 )  = 2 / 0 = + 

        x   →+

    et      

         lim   ( 4 x − 10  ) / ( x − 3 )  = 2 / 0−  = − 

        x   → 3 

     Conclusion:   

     lim f =  + ∞

       3 +  

      et   

       lim f =  − ∞

       3 −  

     3. Sens de variation de f.

       Comme f ' <  0    sur  IR − { 3 }   on a :

     f est strictement décroissante sur les intervalles de son domaine de définition.

      Tableau de variation:

                       5nk

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

     EXERCICE 4

             Soit la fonction   f : x →√ cos( x )    sur l'intervalle [ − π / 2  , π / 2 ]

    1. Donner  le domaine de dérivabilité Dd   et  f ' .

   2. Etudier les variations de f  .

----------------------------------------------------------------------

    REPONSE:

                              6nk

    1. Recherche de Dd  .

         La fonction cos est définie et dérivable dans IR.

        Sur l'intervalle  ] − π / 2  , π / 2 [  la fonction cos est strictement positive.

       On a:       f = √ cos

          Donc , d'après un résultat de cours,  la fonction  f   c-à-d √ cos  est dérivable

        sur  ] − π / 2  , π / 2 [.

     Conclusion:    Dd =   ] − π / 2  , π / 2 [

    2. Etude des variations de f.

          Sur l'intervalle   ] − π / 2  , π / 2 [   on a :

             f ' = cos '  / ( 2 √ cos  )

            f ' est du signe de cos '

            Mais    cos ' = − sin

   Tableau de variation :

                1n2b34jh 1

 -----------------------------------------------------------------------------------------