INFO DV n° 6 du 13 déc. 2014 TS1
EXERCICE 3
Soit la fonction f définie sur IR − { 3 } d'expression :
On admet également les information suivantes:
• La droite D : y = 4 est une asymptote horizontale à la courbe ( C ) de f en + ∞.
• f ' ( 1 ) = - 1 / 2
1. En déduire les valeurs de
2. Etudier les limites de f aux bornes de ses intervalles de définition.
3. Donner le tableau de variation de f.
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REPONSE:
1. Recherche de
Comme f est une fonction rationnelle sa limite en + ∞ est celle du quotient
simplifié de ses termes de plus haut degré.
Or le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est:
Donc :
Or la courbe( C ) de f admet la droite D: y = 4 comme asymptote en + ∞.
On en déduit que :
Ainsi :
On a donc :
f est définie et dérivable sur son domaine de définition.
Soit x ≠ 3
On a très rapidement
Ainsi :
Or f ' ( 1 ) = − 1 / 2
Donc ( − 12 − b ) / 4 = − 1 / 2
c-à-d 12 + b = 2
c-à-d b = − 10
Conclusion :
2. Limites aux bornes de ] − ∞ , 3 [ U ] 3 , + ∞ [ .
• On connaît déjà la limite en + ∞ par hypothèse.
Comme le quotient simplifié des termes de plus haut degré
est 4 , qui ne dépend pas de x, on aura en − ∞ la même limite pour f qu'en + ∞
c-à-d 4.
lim f = lim f = 4
x → − ∞ x → + ∞
• En 3 à gauche et à droite.
On a :
lim ( 4 x − 10 ) / ( x − 3 ) = 2 / 0+ = + ∞
x → 3 +
et
lim ( 4 x − 10 ) / ( x − 3 ) = 2 / 0− = − ∞
x → 3 −
Conclusion:
lim f = + ∞
3 +
et
lim f = − ∞
3 −
3. Sens de variation de f.
Comme f ' < 0 sur IR − { 3 } on a :
f est strictement décroissante sur les intervalles de son domaine de définition.
Tableau de variation:
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EXERCICE 4
Soit la fonction f : x →√ cos( x ) sur l'intervalle [ − π / 2 , π / 2 ]
1. Donner le domaine de dérivabilité Dd et f ' .
2. Etudier les variations de f .
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REPONSE:
1. Recherche de Dd .
La fonction cos est définie et dérivable dans IR.
Sur l'intervalle ] − π / 2 , π / 2 [ la fonction cos est strictement positive.
On a: f = √ cos
Donc , d'après un résultat de cours, la fonction f c-à-d √ cos est dérivable
sur ] − π / 2 , π / 2 [.
Conclusion: Dd = ] − π / 2 , π / 2 [
2. Etude des variations de f.
Sur l'intervalle ] − π / 2 , π / 2 [ on a :
f ' = cos ' / ( 2 √ cos )
f ' est du signe de cos '
Mais cos ' = − sin
Tableau de variation :
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