Leçon n°1 TS INFO ACTIVITE

 

                                           Leçon 1:   INTRODUCTION : LOGIQUE, SUITES, LIMITES           TS      Sept. 2012 

               INFO ACTIVITE 

                 Exemple d'algorithme.

                   Considérer la variable a = 1.

                   Diviser 7 par a puis ajouter a et multiplier le tout par 1/2.

                   Considérer pour a le résultat ainsi obtenu.

                   Recommencer le processus ainsi de suite.

                  1. Trouver les trois premières valeurs de a.

                 a = 1           Donc   0,5 × ( a + 7 / a ) = 8 / 2 =

 Puis         a = 4           Donc    0,5 × ( 4 + 7 / 4 ) = 0,5 × ( 23 / 4 ) = 23 / 8 ≈ 2,875

 Ensuite    a = 23 / 8     Donc     0,5 ×( 23 / 8   + 7 ×( 8 / 23 ) ) = 0,5 ×( 977/ 184 ) = 977/ 368 2,6548

                  2. Comparer ces valeurs et la racine carrée de 7.

                                On a :  √7  2,6457

                                Le processus donne une excellente valeur approchée.                     

                  3.  Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN, des valeurs successives de a.

                      Que vaut   u0 ?

                        On a :   u0  

                      Quelle relation de récurence a-t-on entre un + 1  et  un   pour tout n dans IN ?

                       On a :     un + 1  = 0,5 × (  un  +  7 / un   )   pour tout n dans IN

                      Programmer sur votre calculatrice, si vous l'avez, cette suite numérique.   

                             On a  à l'écran de la TI 84:  

                       Appuyer sur        MODE 

                                  •  Mettre à la 4 ième ligne le curseur sur SEQ 

                                  • Mettre à la 6 ième ligne le curseur sur SEQUENTIEL

                      Appuyer sur  Y =  

                      Faire en sorte d'avoir à l'écran:

                           Plot1    Plot2   Plot3

                               nMin = 0

                         ·..  u(n) = 0.5*( u(n-1 )+7/u( n-1 ) )    

                         u( nMin ) = {1} 

                         • Considérer      2nd   WINDOW

                           Il faut avoir à l'écran:

                                       TABLE SETUP

                                           TblStart=0

                                         Δ  Tbl = 1

                                        Indpnt:     Auto     Ask

                                        Depend:   Auto     Ask

                          Avec    2nd       GRAPH

                         On obtient le tableau:

n u(n)
0.0000 1.0000
1.0000 4.0000
2.0000 2.8750
3.0000 2.26545

                           Retrouver à l'aide de la calculatrice  u1  , u2  , u3  les valeurs successives de a.

                           Les quatre valeurs sont bien celles de l'algorithme            

                                  web728.jpg

                          Quelle conjecture sur le sens de variation de la suite ( un ) pouvez vous faire?

                           La suite ( un ) semble décroissante sur IN*  c-à-d   à partir du rang 1.

                      Peut-on conjecturer que cette suite est à termes positifs ? négatifs ? quelconques?

                        La suite ( un ) semble à termes strictement positifs sur IN.

                 4.  Indiquer la fonction numérique f  telle que:     un + 1 = f( un )  pour tout n dans IN.

                        La fonction f est :    f : x → 0,5 ×( x + 7 / x )

                        car on a bien :        un + 1 = f( un )  pour tout n dans IN.  

                      Préciser le domaine de définition et de dérivabilité de f.

                        f est une fonction rationnelle définie dans IR*. 

                       Elle y est donc également dérivable.

                      Trouver sa fonction dérivée notée f '.

                        Directement on obtient :   f ' : x  → 0,5 ×( 1 -  7 / x2 )   sur IR*

                      Quelle est le sens de variation de la fonction f  ?

                       Pour cela donnons le signe de f ' .

                       Soit x un réel non nul.

                       On a :     f '( x ) = 0,5 ( x2 -  (√7 ) ) / x2

                       f ' ( x ) est donc du signe de x2 -  (√7 )2    pour tout x dans IR*.

                      Il s'agit d'un trinôme du second degré dont les racines sont - √7 et √7 .

                     On peut donc donnerdirectement  le signe de f '(x ).

x -∞       -√7       0        √7    +∞
f(x)     +        0    -   ||  -      0   +

                5.  Utilisation d'une récurrence.                                         

                    a. Etablir, par récurrence sur IN, que la suite ( un ) est à termes positifs strictement sur IN.

                           •n = 0 

                                u= 1      

                                Or   1 > 0  

                                Donc       u > 0   est vrai.

                           •Soit n dans IN quelconque.

                             Montrons que si  u > 0 alors   un + 1  > 0 .

                             Comme u > 0    on a    0,5 ( u+ 7 / un ) > 0

                                                        c-à-d                     un + 1  > 0 .

                          Conclusion :   u > 0    pour tout n dans IN

                    b. Etablir, par récurrence sur IN*, et à l'aide du sens de variation de f

                         que un  ≥ √7  pour tout n dans IN*.                       

                         • n = 1 

                               u = 4      Mais  4   ≥ √7    Donc   u  ≥  √7    est vrai.                        

                         •Soit n dans IN* quelconque.

                             Supposons que u  ≥ √7   .  Montrons que  un + 1   ≥ √7   .

                           On a :      u  √7  

                           Mais  comme f ' 0  sur  [√7  , +∞ [

                           f  croissante sur [√7  , +∞ [

                           D'où :

                                        f(  u )   f( √7 )   

                          c-à-d      un + 1      f( √7 )

                           or   f(  √7 ) = 0,5 (  √7  + 7 /  √7 ) =  √7 

                                Ainsi   un + 1      √7 

                      Conclusion :    On a   n    √7   pour tout n dans IN* 

                 6. Suite minorée, majorée bornée.                      

                          Notre suite ( un ) ici est-elle minorée?  majorée? bornée ? sur IN .

                            Comme il existe √7   tel que  u   √7   pour tout n dans IN*

                           elle est minorée par  √7  sur IN*.    Son premier terme est  1.                         

               Conclusion :  la suite est minorée  par 1 sur IN   

                            Plus loin, le sens de variation décroissant de

                            de la suite sur IN* sera connu. Sachant u1 = 4 et  u0 = 1

                           on pourra établir qu'elle est aussi majorée sur IN par 4 

                            c-à-d que  un  ≤ 4  pour tout n dans  IN.

                   7.  En déduire le signe de la différence  un+1 - un    pour tout n dans IN*.

                        Quel est donc le sens de variation de notre suite ( un ) sur IN*?

                          Considérons pour tout n dans IN* la différence:

                                un+1 - un   =  0,5( u  + 7 / u ) - u   = ( 1 / 2 )× [   u  + 7 / u  - 2 u ]

                   c-à-d     

                               un+1 - un   =  ( 1 / 2 )× [   7 / u  -  u ] =  ( 1 / 2 )× [   7   -  (un )2 ] /   u 

                 c-à-d    

                              un+1 - un    ( 1 / 2 )× [  (√ 7 )2  -  (u)2 ] /   u 

                          Comme  u > 0 pour tout n dans IN 

                          cette différence est du signe de   7   -  (u)2  .

                         Comme pour tout n dans IN*  , u ≥   7  on a u)  ≥   7 

                           Donc    ( 7 )-  ( u)2   ≤ 0   pour tout n dans IN*.

                            Ainsi     un+1 - un  ≤ 0   pour tout n dans IN*.

                              Conclusion : La suite (  u ) est décroissante dans IN* mais pas sur IN.

                  8. Convergence. Divergence.                                                                                             

                     Notre suite ( un ) ici est-elle convergente ?divergente ?

                      La suite suite ( un ) est décroissante sur IN* et minorée par  √7 donc converge sur IN*.

                     << Résultat admis en Terminale: Toute suite décroissante et minorée converge >>

                    c-à-d  admet une limite finie L  

                    c-à-d  son terme général tend vers le réel L quand n tend vers + ∞.

                    c-à-d  dire tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à

                    partir d'un rang.  

                          Conclusion : La suite (  u ) est convergente.

               9. Suite récurrente convergente.                

                  Pour notre suite ( un ) que dire de sa limite finie L?

                  Comme   un  ≥ √7 pour tout n dans IN*   on a  L ≥ √7.

                  f( x ) tend ici vers f( L ) quand x tend vers L 

                  car   ( 1 / 2) ( x + 7 / x ) tend vers ( 1 / 2 ) ( L + 7 / L )  quand x tend vers L .

                 Ce que l'on résume par  la notation:    

                 lim f( x ) = f( L )      (   C'est la continuité de f en L )

                 x →  L

                La relation    un + 1 = f( un )  se traduit pour n très grand par  L = f( L )

                On sait donc deux choses :   L ≥ √7   et     L = f(L )  

                      Cela va permettre de trouver L.

                       On a :     L ≥√7     et    L = ( 1 / 2 ) ( L + 7 / L )

                      c-à-d        L ≥√7      et    2 L =  L + 7 / L 

                     c-à-d         L ≥√7    et     L =   7 / L  

                     c-à-d         L ≥√7   et    L2  7  

                     c-à-d         L ≥√7   et    L =  ± √ 7                

                    c-à-d          L = √7 

                Conclusion : La suite (un)   est convergente  vers √ 7  

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