TEST EX1 spé TS 31 janvier 2017

                      TEST d'arithmétique        TS spé. math.         31 janvier 2017 

     EXERCICE 1     

           Un jeu classique consiste à coder des messages.

           Pour cela, on utilise la correspondance entre les lettres de l'alphabet et

           un nombre entier compris entre 0 et 25.

           Le tableau ci-dessous donne cette corespondance:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

     Le codage ( affine ) consiste à choisir une clé ( a ; b ) formée de deux nombres

    entiers a et b compris entre 0 et 25 et à remplacer une lettre par une

    autre selon le principe suivant:

        - On lit sur le tableau le nombre x correspondant à la lettre.

        - On calcule le reste r de la division de a x + b  par 26.

           ( c-à-d      r ≡  a x + b  [ 26 ] avec   0 ≤ r < 26    )

       - On lit sur le tableau la lettre correspondant au nombre r .

         qui est donc la lettre codée.

         Par exemple: avec la clé ( a ; b ) = ( 7 ; 12 ), pour coder la lettre T,

          on calcule 7 × 19 + 12 = 145 , puis le reste de la division

          euclidienne de 145 par 26, soit 15. La lettre codée est ainsi P.

    1. Coder les lettres A,K,W avec la clé ( 5 ; 17 ).   

    2. Que se passe-t-il si l'on prend a = 0 et b = 17 ?

    3. On considère un entier x compris entre 0 et 25.

           a. Donner, sans justification, les restes obtenus dans la division euclidienne

              de 13 x + 6 par 26 pour x compris entre 0 et 25.

           b. Coder le mot PREMIER avec la clé ( 13 ; 6 ).

               Commenter le résultat obtenu.

    4. Un codage est dit acceptable lorsque deux lettres distinctes quelconques

         sont toujours codées différemment .

          On admet que les clés ( a , b ) donnant un codage acceptable sont celles

          pour lesquelles a est un entier premier avec 26, quelque soit

          l'entier b compris entre 0 et 25.

         a.Donner la liste des nombres entiers compris entre 0 et 25 et premiers avec 26.           

         b. Déterminer le nombre de clés donnant un codage acceptable.

    5. Le mot ABSURDE a été codé à l'aide d'une clé ( a , b ) selon le principe décrit ci-dessus et  

         décrit ci-dessus et l'on a obtenu VOZLGAT.

         Déterminer cette clé.

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