INFO. DS 2 EX 3 D'UN SUJET BTS 14 Nov. 08
EX. 3 Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300 ascenseurs.
On admet que, chaque semaine , la probabilité de panne d'un ascenseur est de 1 / 75 .
On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux
ascenseurs différents.
Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc
complet des ascenseurs.
PARTIE A. Etude X.
1. Indiquer pourquoi X suit la loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 1 / 75.
2. Calculer, à 10- 2 près, la probabilité pour que , lors d'une semaine , il y ait ( strictement )
moins de deux pannes. ( REP : 0,09 )
PARTIE B. Approximation de X.
On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson,
de paramètre m.
On désigne par Y une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.
1. Indiquer pourquoi m est égal à 4.
2. En utilisant la variable Y, calculer une valeur approchée de la probabilité pour
que la compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine.
( On arrondira le résultat à 10-3 près. ) ( REP : 0,111 )
PARTIE C. Sécurité
On considère la variable aléatoire Z qui, à tout adulte, usager d'ascenseurs, choisi au
hasard , associe son poids en Kg.
On suppose que Z suit la loi normale d'espérance mathématique 70 Kg et
d'écart-type 15 Kg .
1. Calculer , à 10- 2 près, la probabilité pour qu'un adulte, usager d'ascenseurs,
choisi au hasard, pèse moins de 90 Kg . ( On prendra 4 / 3 ≈ 1,33 ) ( REP : ∏( 1,33 ) ≈ 0,91 )
Un ascenseur peut supporter 500 Kg avant la surcharge.
Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser 10-4 .
On admet que le poids total de n usagers adultes d'ascenseurs, dont les poids sont indépendants,
est une variable aléatoire S qui suit la loi normale d'espérance mathématique 70n et
d'écart - type 15 √n .
2. Calculer les probabilités de surcharge p5 lorsqu'il y a 5 adultes dans l'ascenseur
et p6 lorsqu'il y a 6 adultes dans l'ascenseur. ( Pour p5 penser que S est de loi
N ( 70 ×5 ; 15 √ 5 ) . Pour p6 penser que S est de loi N ( 70 × 6 ; 15 √ 6)
De plus la probabilité de surcharge est P( S > 500 ) . )
( On prendra 2 √ 5 ≈ 4,5 et 16 / ( 3 √ 6 ) ≈ 2,18 )
Déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l'ascenseur.)
( On ordonnera p5 , 10-4 , p6 )
REP. Partie A
1. On répète 300 fois de FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli dont les
deux issues sont " Panne " , " Pas panne" avec 1 / 75 la probabilité de " Panne " .
Comme X , parmi les 300 ascenseurs , indique le nombre de" Panne" , en
une semaine , X suit la loi binomiale B( 300 ; 1 / 75 ).
Conclusion: Le résultat proposé est bien justifié.
2. Caculons P( X < 2 ).
On a : P( X < 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1 )
Comme P( X = 0 ) = C300 0 ( 1 / 75 )0 ( 1 - 1 / 75 ) 300
P( X = 1 ) = C300 1 ( 1 / 75 )1 ( 1 - 1 / 75 )299
Par somme on obtient:
Conclusion: P( X < 2 ) ≈ 0,09
Partie B
1. Justifions que le paramètre m de la v.a.r Y de loi de Poisson qui approche X soit 4.
On prend m = E( X ) . C'EST L'ESPERANCE QUI FAIT LE LIEN ENTRE X ET Y.
Or E( X ) = 300 × ( 1 / 75 ) comme X est de loi binomiale B( 300 ; 1 / 75 )
c-àd E( X ) = 4
Conclusion: m = 4
2. A l'aide de la v.a.r Y de loi de Poissson de paramètre m = 4
trouvons P( Y >6 ).
On a : P( Y > 6 ) = 1 - P( Y =< 6 )
c-à-d P( Y > 6 ) = 1 - ( P( Y = 0 ) + P( Y = 1 ) + P( Y = 2) + P( Y = 3 ) + P( Y = 4 ) + P( Y = 5 ) + P( Y = 6 ) )
On lit dans la table de Poisson dans la colonne de λ = 4 , les 7 premières
probabilités que l'on somme puis que l'on retranche à 1.
Ainsi P( Y > 6 ) ≈ 1 - ( 0,018 +0,073 + 0,147 +0,195 + 0,195 + 0,156 + 0,104 )
On a P( Y > 6 ) ≈ 0,112
Conclusion : P( Y > 6 ) ≈ 0,111 à 10- 3 près.
PARTIE C
1. Calculons P( Z < 90) sachant que Z est de loi normale N( 70 ; 15 ).
Soit la nouvelle variable aléatoire T de loi normale N( 0 ; 1 )
en posant : T = ( Z - 90 ) / 15 .
P( Z < 90 ) = P( (Z - 70 ) / 15 < ( 90 - 70 ) / 15 ) = P( T < 4 / 3 )
c-à-d P( Z < 90 ) = ∏( 4 / 3 ) En prenant 4 / 3 ≈ 1,33
il vient : P( Z < 90 ) ≈ ∏( 1,33 )
Par lecture de la table: ∏( 1,33 ) ≈ 0,9082
Conclusion: P( Z < 90 ) ≈ 0,91 à 10- 2 près.
2.
• Calculons la probabilité de surcharge p5 .
P5 = P( S > 500 ) avec S la v.a.r de loi normale N ( 70 × 5 ; 15 × √5 )
comme n = 5 . S n'est pas centrée réduite.
On considère: W =( S - 350 ) / ( 15 × √5) .
W est une v.a.r de loi normale N( 0 ; 1 ).
P5 = P( S > 500 ) = P( ( S - 350 ) / ( 15 × √5 ) > ( 500 - 350 ) / ( 15 × √5) )
c-à-d P5 = P( S > 500 ) = P( W > 2√5 ) =1 - P( W =< 2√5) = 1 - ∏( 2√5 )
Considérons 2√5 ≈ 4,5
P5 = P( S > 500 ) = 1 - ∏( 2√5 )
Or d'après la table ∏( 2√5 ) ≈ 0,999997
Conclusion : P5 ≈ 0,000003
• De la même façon on calcule P6 .
P6 = P( S > 500 ) avec S la v.a.r de loi normale N ( 70 × 6 ; 15 × √6 )
comme n = 6 . S n'est pas centrée réduite. On considère: V =( S - 420 ) / ( 15 × √6) . V est une v.a.r de loi normale N( 0 ; 1 ). P6 = P( S > 500 ) = P( ( S - 420 ) / ( 15 × √6 ) > ( 500 - 420 ) / ( 15 × √6) ) c-à-d P6 = P( S > 500 ) = P( V > 80 / (15√6) ) =1 - P( V =< 80 / (15√6) ) = 1 - ∏( 80/ (15√6 ) ) Considérons 80 / ( 15√6 ) ≈ 2,18 P6 = P( S > 500 ) = 1 - ∏( 2,18 ) D'après la table : ∏( 2,18 ) ≈ 0,9854 Ainsi : Conclusion: P6 ≈ 0,0146 • Regardons le nombre maximal de personnes aldultes autorisées à emprunter l'ascenseur sachant que la probabilité de surcharge ne peut dépasser 10- 4 . On a P5 < 10- 4 < P6 C'est donc P5 qui est inférieure à 10- 4 . Conclusion: C'est 5 qui est le nombre maximal de personnes adultes qui peuvent emprunter l'ascenseur. --------------------------------------------------------------------------------------