INFO EX 1 :INTEGRATION

                       EXERCICES  SUR LE CALCUL INTEGRAL            TS                MAI 2011

        EXERCICE 1

                 1. Cherchons deux réels A et B tels que :

                           1 / [  t ( 1 + t ) ]   = A / t   +   B / (1 + t )       pour tout    t > 0.

                     Soit  t > 0.         On fait une réduction au même dénominateur:

                     On a :       A / t   +   B / (1 + t )  = [ A ( 1 + t ) + B t ] / [  t ( 1 + t ) ]  

                     c-à-d        A / t   +   B / (1 + t )  = [ A ( 1 + t ) + B t ] / [  t ( 1 + t ) ]  

                      c-à-d        A / t   +   B / (1 + t )  = [ (A + B ) t + A  ] / [  t ( 1 + t ) ]  

                       Considérons    ( 0 t +   1  ) / [  t ( 1 + t ) ]   =  [ (A + B ) t + ] / [  t ( 1 + t ) ]      pour tout t > 0

                      Par identification des numérateurs il vient :

                               1 = A

                              0 = A + B

                       Conclusion :     A = 1  et  B = - 1

                         Donc    1 / [  t ( 1 + t ) ]   = 1 / t    -   1 / (1 + t )       pour tout    t > 0.

                  2.  a. Calculons l'intégrale  J  = ∫2    1 / [  t ( 1 + t ) ]  dt  .

                    •  J existe car la fonction  rationnelle  f :  t  →   1 / [  t ( 1 + t ) ]

                        est définie et continue sur l'intervalle [ 1 , 2 ].

                       Mais on a vu que     f : t   →   1 / t    -   1 / (1 + t ) 

                        d'après la question 1.

                        Donc on a :          J  = ∫2   (  1/ t    -   1 / ( 1 + t )   ) dt

                  La fonction   F : t   →  ln( t ) -  ln( 1 + t )     est une primitive de la fonction

                   f : t  →  1 / t    -   1 / (1 + t )   sur l'intervalle  [ 1 , 2 ].

                 Ainsi :          J = [  ln( t ) - ln( 1 + t ) ] 1 2

                  c-à-d          J = [  ln( t  / ( 1 + t ) )  ] 1 2

                  c-à-d         J = ln ( 2 / 3 )  -  ln ( 1 / 2 )   = ln (( 2 / 3 ) ( 2 / 1 ) ) =  ln ( 4 / 3 )    

                Conclusion : J  = ln ( 4 / 3 )                  environ 0,2877

              b. Calculons l'intégrale    I = ∫(   ln( 1 + t ) /   t²  )  dt  .

                 • I existe car la fonction g : t →  ln( 1 + t ) /   t²  est définie et continue sur l'intervalle [ 1 , 2 ]

                  comme produit de telles fonctions:     t →    ln( 1 + t )   et  t →    1/ t²    .

               •  Soit la fonction u : t →  ln( 1 + t )   

                     La fonction u : t →  ln( 1 + t ) est définie et dérivable dans l'intervalle [ 1 , 2 ].

                    On a :   u ' : t →    1 / (1 + t ) 

                     La fonction u '   est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , 2 ].

                   Soit la fonction v ' : t →    1 / t ²  

                   v ' est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , 2 ]

                   Prenons la fonction  v : t    →   - 1 / t    

               La fonction v est définie et dérivable dans l'intervalle [ 1 , 2 ].  

                    Nous pouvons procéder à une intégration par parties.

                 I =  2  ln( 1 + t ) × (  1 /   t²  ) ] dt  =u( t ) v ' ( t ) dt =  [ u(t ) v( t ) ]1 2   -  u ' ( t ) v ( t ) dt

     Donc    I = [  ln(1 + t )  ( - 1 / t ) ) ]1 2   -  ( 1/ ( 1  + t )  )( - 1 / t ) dt  = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) +  ( 1/ ( t ( 1  + t ) )dt

         c-à-d         I = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) + J

                            Conclusion :   I = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) +  ln( 4 / 3 ) =  ln( 8 ) - 1 , 5 ln ( 3 )          environ  0,4315