DEVOIR MAISON 28/01/1012

          INFO DEVOIR MAISON     1ES-L        DU    28 JANVIER 2012

            EXERCICE  n°44 

             Soit f la fonction définie sur IR par  f : x→ - x³ - 3x² + 9 x  et C_f  sa courbe

              représentative dans un repère orthogonal d'unités 1 cm sur l'axe des

             abscisses et 0,2 cm sur l'axe des ordonnées.

              1. Déterminer le sens de variation de f sur IR.

                  Réponse:

                 La fonction polynôme f est définie et dérivable dans IR.

                 On a :    f ' : x → - 3 x² - 6 x + 9

                 Soit x dans IR .

                 On a :          f '( x ) = 3 ( - x²  -2 x + 3 )

                  Comme - 1 - 2 + 3 = 0  , l'équation le trinôme - x²  -2 x + 3 admet 1

                  comme racine évidente.

                  L'autre est donc  égale à  c / a .

                   Or   ici         c / a = 3 / ( - 1 ) = - 3

                  Ainsi    f '( x ) = 0   ssi   x = 1 ou x = - 3

                 D'après la règle des signes d'un trinôme du second degré ,

                 comme a = -1 on a :

               • f '( x ) > 0 quand x est entre les racines - 3 et 1.

               • f '( x ) < 0 quand x est à l'extérieur des racines - 3 et 1 

                       c-à-d quand x < - 3 ou x < 1.

                 Tableau de variation :

        Conclusion : f est strictement décroissante sur les intervalles

                              ] -  ∞ , - 3] et [ 1 , + ∞  [  

                              f est strictement croissante sur l'intervalle [ - 3 ; 1 ]

              2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C_f  au point d'abscisse 0.

              Réponse:

              Comme f( 0 ) = 0 et f '( 0 ) = 9  l'équation deT qui est  y = f '(  0 ) x + f( 0 ) - f '( 0 ) × 0

              devient y = 9 x

             Conclusion : On a  T : y = 9 x

         3. Construire la courbe C_f  et la tangente T.

             Réponse:

             La courbe avec, attention, un repère orthonormé.

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          EXERCICE  n°48

                 Soit f la fonction définie sur [ - 3 ; 1 ]  par  f : x→ ( 4 - x ) /  ( x - 2 ).

                  1. démontrer que f est décroissante sur [ - 3 ; 1 ]

                      Réponse:

                   F est une fonction rationnelle définie et dérivable sur son domaine de définition.

                   On a :

                      f = u / v      avec    u : x → 4 - x  et     v : x → x - 2

                     Comme u et v sont deux fonctions définies et

                    dérivables dans I[ - 3 ; 1 ] et  que v est non nulle

                   dans l'intervalle [ - 3 ; 1 ] on a  la fonction u /v  c-à-d f

                   qui est de fonction dérivée :

                    f ' = ( u / v ) ' = ( v u  ' - u v ' ) / v²

                    On a:   u ' : x → - 1    et    v ' :  x →1

                   Soit x dans [ - 3 ; 1 ]

                   f '( x ) = ( ( x- 2 ) × ( - 1 ) - ( 4 - x ) ×1  ) / ( x - 2)²  

                   c-à-d 

                     f '( x )   = ( - x + 2 - 4 + x ) / ( x - 2)²

                c-à-d

                       f '( x )   = - 2 / ( x - 2)²  

                Ainsi  f '( x ) < 0 pour tout x dans [ - 3 ; 1 ].

                 Conclusion : f est bien strictement décroissante

                      sur l'intervalle [ - 3 ; 1 ].

                 2. Construire la représentation de f dans un repère orthonormé d'unités 1 cm.

                           Réponse:

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            EXERCICE  n°70

              Dans un restaurant le coût total en euros pour la fabrication de x

              repas est donné par la relation  C(x ) = 2 x² - 230 x + 7200 avec  x compris

             entre 30 et 120.

             Lorsque x repas sont fabriqués , on appelle coût moyen d'un repas le quotient

              C( x ) /x.

              On note  C_M  ( x) ce coût moyen .

             1. Donnons l'expression de C_M  .

                    Réponse:

                  Il suffit de diviser C( x ) par x.

                   Soit x dans l'intervalle [ 30;120] qui ne contient pas 0.

                    On a :

                          C_M  ( x) = ( 2 x² - 230 x + 7200) / x

                   c-à-d

                          C_M  ( x)   = 2 x - 230  +   7200) / x

                     Ainsi :

                 Conclusion :

           C_M  ( x ) = 2 x - 230 + 7200/ x    avec x dans [ 30; 120].

             2.a . Calculer la dérivée de la fonction    C_M    .

               Soit x dans l'intervalle [ - 3; 1 ].

             On a :     C'_M( x )   = 2 -  7200/ x²    =  ( 2 x² - 7200 ) / x² 

             c-à-d         C'_M( x )   = 2( x² - 3600 ) / x² 

             c-à-d        C'_M( x )   = 2( x² - 60² ) / x² 

              c-à-d      C'_M( x )   = 2 ( x - 60 )  ( x + 60 ) / x² 

              Conclusion :   On a  C'_M : x → 2 ( x - 60 )  ( x + 60 ) / x²   

          b.Montrer que cette dérivée a le même signe que x - 60 sur

           l'intervalle [ 30; 120].

            Réponse:

           2( x+60) / x²  > 0 pour tout x dans l'intervalle [ 30; 120 ].

          Or   C'_M( x )   = [ 2 ( x + 60 )  /  x²  ] ×( x - 60 )   pour tout x dans l'intervalle [  30; 120 ].

           Donc

        Conclusion :    C'_M( x ) est du signe de x - 60 pour

                           tout x dans l'intervalle [ 30  ; 120]

      c. Etudier le sens de variation de la fonction C_M  .

            Réponse:

               Le signe de x - 60 se résume dans le tableau:         

     Donc :      

   • Comme C' _M < 0  sur [ 30, 60 ] on a :

         La fonction C_M   qui est strictement décroissante sur l'intervalle [ 30 , 60 ].

       •Comme C' _M > 0  sur [ 60, 120 ] on a:

       La fonction C_M  qui est strictement croissante sur l'intervalle [ 60, 120 ].

      Tableau de variation :

3. Combien de repas faut-il fabriquer pour que le coût moyen d'un repas soit minimal?

       Réponse:

          La fonction C_M   admet un minimum pour x = 60 . Ce minimum est 10 euros.

        Conclusion: Il faut donc préparer 60 repas pour un côut moyen minimal.

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