PROBA: VARIABLES ALEATOIRES 2

           BTS            1S              TS                                                 OCT.       2008


             SUITES DES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETE

      1. VARIABLE ALEATOIRE DE LOI DE  Bernoulli.

                   Soit  une expérience ne comportant que deux issues:  "SUCCES " , " ECHEC".

                                      ( Ou encore Blanc , Rouge )

                  Cette expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli.

                  On peut considérer alors la v.a.r.

                     X  : { SUCCES , ECHEC }  → { 1 ; 0 }

                             SUCCES  → 1

                              ECHEC   → 0   

                         On note : P ( X = 1 ) =  p        et P ( X = 0 ) = q = 1 - p        p est dans [ 0 , 1 ].

                          X est dite de loi de Bernoulli de paramètre  1 et p.

                           Son espérance est E( X ) = p 

                                    En effet :               E( X ) = 1 p + 0 ( 1 - p ) = p                

                        Sa variance V( X ) = p q

                                   En effet :     V(X) = 12 p + 02 ( 1 - p )   -  p2  = p -  p =  p ( 1 - p ) = p q.


                 2. EX.         Une urne contient 7 boules rouges et 3 boules blanches.

                                    On tire au hasard deux boules successivement sans remise de l'urne.

                                    On note S l'événement :   " Les deux boules sont de la même couleur"

                                    Soit X la v.a.r qui attribue 1 si les boules sont de la même couleur

                                   et qui attribue 0 si ce n'est pas le cas.

                                    1. Trouver P( S) .

                                    2. X suit une loi de bernoulli.

                                       Donner son espérance .


                      INFORMATION   

                             1. L'univers Ω des possibles est l'ensemble des couples de boules distinctes.

                                     On est dans une situation d'équiprobabilité.

                                    Card( Ω ) = 10 × 9 = 90

                                    Card ( S ) = 7  × 6 + 3  × 2 = 48

                                    P( S ) = 48 / 90  = 24 / 45             P( S ) =  8 / 15             

                               2.   X est de loi de Bernoulli de paramètre 1   et    24 / 45.

                                  Ainsi :    P( X = 1 ) = 8 / 15    et P( X = 0 ) = 1 - 24 / 45 = 21 / 45.

                                       E( X ) = 8 / 15            


               3.  VARIABLE ALEATOIRE DE LOI BINOMIALE .

                On répète n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont

                            l'isssue " Succès" a pour probabilité p et l'issue  " Echec" a pour probabilité q = 1 - p .

                                ( n est un entier naturel non nul. )

                           Soit X la v.a.r. qui associe à chaque série de n issues le nombre de " Succès".

                           X suit une loi binomiale B ( n ; p ) de paramètres n et p.

                           Pour tout entier k compris entre 0 et n on a:  

                              P( X = k ) = C nk     pk   qn - k

                            L'espérance est :  E( X ) = n p

                            La variance est :    V( X ) = npq

 

                    Explication.        

                   Considérons une branche d'arbre où ily a d'abord K fois " S " puis n - k fois  " E ".

                                                       ---- S ----- S ---        ------S ----E ---- E  -----    E

                    Pour la probabilité de la branche on a d'abord  k fois le facteur p  puis ( n - k ) fois

                    le facteur  q .

                    La probabilité de la branche est donc   pk   qn - k .

                          Chaque branche comportant k fois le " S " et  ( n- k )  fois le " E " , dans

                    n'importe quel ordre ,  a cette probabilité.

                   Or il y a C nk   branches  avec  k fois le " S " et  ( n- k )  fois le " E " .

                          Comme k varie de 0 à n , la probabilité de ( X = k ) est donc C nk     pk   qn - k


           4. EX.          Soit une classe de 24 étudiants.

                             La probabilité de succès à un examen est estimée à 78 %.

                             Soit X le nombre d'étudiants reçus.

                             Trouver P( X = 17 ).


              Information

                          X est de loi binomiale B ( 24 ; 0,78 ) car on répète 24 fois de façon

                         indépendante une épreuve de Bernoulli ayant deux issues " Reçu" , "Collé"

                        avec 0, 78  la probabilité de "Reçu" .

                           Donc       P( X = 17 ) = C nk     pk   qn - k              n = 24  et   k = 17  et   p = 0,78

                                   c-à-d                     P( X = 17 )    =   C 2417     0,7817   0,2224 - 17       

                           Ainsi;      P( X = 17 )  ≈   0,1264

            5. LOI DE POISSON 

                                             Soit  Y  une v.a.r  qui prend comme valeurs, tous  les entiers naturels.

                                             Elle est dite de Poisson de paramètre λ > 0 quand sa loi de probabilité est 

 

                                             caractérisée par:

 

                                            P ( Y = k ) = ( e-λ   λ) / k!    pour tout entier naturel k .                                          

 

 

 

                                            On a :    E ( Y ) = V ( Y ) = λ 

                                           On peut utliser, par ailleurs,  une table de Poisson pour calculer

                                          certaines probabilités.

k \  λ 1 1,5 2
0 0,368 0,223 0,135
1 0,368 0,335 0,271
2 0,184 0,251 0,271

                         Par exemple P( Y = 1 )  quand λ = 2   est   0,271


             6. APPROCHE D'UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON.                         

 

 

                                La variable aléatoire X de loi binomiale B( n ; p ) , quand n est au moins 30 et

 

 

                                 p proche de 0 , peut être approchée par la v.a.r.   Y  de loi de

                                 Poisson de paramètre λ = n p .

 

 

                                   (   X et Y ont alors les mêmes espérances. )

 

                                          Y est à valeurs dans l'ensemble des entier naturel.

                                          Sa loi est alors caractérisée par:

 

                                          P ( Y = k ) = ( e-λ   λ) / k!    pour tout entier naturel k .

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