BTS 1S TS OCT. 2008
SUITES DES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETE
1. VARIABLE ALEATOIRE DE LOI DE Bernoulli.
Soit une expérience ne comportant que deux issues: "SUCCES " , " ECHEC".
( Ou encore Blanc , Rouge )
Cette expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli.
On peut considérer alors la v.a.r.
X : { SUCCES , ECHEC } → { 1 ; 0 }
SUCCES → 1
ECHEC → 0
On note : P ( X = 1 ) = p et P ( X = 0 ) = q = 1 - p p est dans [ 0 , 1 ].
X est dite de loi de Bernoulli de paramètre 1 et p.
Son espérance est E( X ) = p
En effet : E( X ) = 1 p + 0 ( 1 - p ) = p
Sa variance V( X ) = p q
En effet : V(X) = 12 p + 02 ( 1 - p ) - p2 = p - p2 = p ( 1 - p ) = p q.
2. EX. Une urne contient 7 boules rouges et 3 boules blanches.
On tire au hasard deux boules successivement sans remise de l'urne.
On note S l'événement : " Les deux boules sont de la même couleur"
Soit X la v.a.r qui attribue 1 si les boules sont de la même couleur
et qui attribue 0 si ce n'est pas le cas.
1. Trouver P( S) .
2. X suit une loi de bernoulli.
Donner son espérance .
INFORMATION
1. L'univers Ω des possibles est l'ensemble des couples de boules distinctes.
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Card( Ω ) = 10 × 9 = 90
Card ( S ) = 7 × 6 + 3 × 2 = 48
P( S ) = 48 / 90 = 24 / 45 P( S ) = 8 / 15
2. X est de loi de Bernoulli de paramètre 1 et 24 / 45.
Ainsi : P( X = 1 ) = 8 / 15 et P( X = 0 ) = 1 - 24 / 45 = 21 / 45.
E( X ) = 8 / 15
3. VARIABLE ALEATOIRE DE LOI BINOMIALE .