Activité de dem.du petit th de Fermat

             Activité de justification du  Petit Th. de Fermat     Mai 2017  TS spé

   ACTIVITE:

     Le petit Th. de Fermat  dit: 

  ap ≡ a  [ p ]  pour tout entier naturel a et tout nombre premier p  

       Ce qui s'écrit aussi:

        ap − a ≡ 0  [ p ]  pour tout entier naturel a et tout nombre premier p 

     ou encore :

        p |   ap − a   pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?

      Le but de cette activité est de le justifier en répondant à une série de questions.

   Partie A.

      Soit p un nombre premier et a un entier naturel qui n'est pas un multiple de p.

      On considère M = { a ; 2 a ; 3 a ;   ....   ;  ( p − 1 ) a }

      M est donc l'ensemble des entiers naturels multiples non nuls de a qui sont

      strictement inférieurs à  p×a.

  1. Montrer qu'aucun élément de M n'a un reste nul dans la division euclidienne par p.

  2. Montrer que deux éléments distincts de M ont des restes distincts

        dans la division euclidienne par p.

  3. En déduire que les restes dans la division euclidienne par p des

        éléments de M , sont à l'ordre près 1 ; 2 ; ... ;   p − 1  ​.

  4. Soit N le produit des éléments de M.

      a . Montrer que N  = ( p − 1)! a p − 1​  . 

     b. De la question 3, déduire que N  ≡ ( p − 1)!   [ p ]   .

     c. En déduire que  ( p − 1)! ( a p − 1​  − 1)  ≡ 0  [ p ]   .

        Puis que     a p − 1​  ≡  1  [ p ].

      Partie B

      Déduire de la partie A que p divise  a p   − a  

      pour tout nombre premier p et tout entier naturel a.

       ( c-à-d    le petit Th de Fermat )

                  ----------------------