1 NOM : ....X........... PRENOM: ................ DATE: 17/12/10 CLASSE : TS2
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• Soit la fonction f : x → x ex . Soit ( C ) s a courbe représentative.
• • Trouver sa fonction dérivée. Donner son tableau de variation.
f est définie et dérivable sur IR comme produit de telles fonctions.
u : x → x et v = exp
f = u v
Donc: f ' = ( u v ) ' = u ' v + u v '
avec u : x → 1 v ' =exp = exp '
Soit x dans IR.
On a : f ' ( x ) = 1 ex + x ex = ( x + 1 ) ex
Conclusion : f ' : x → ( x + 1 ) ex
Il apparaît que f ' ( x ) est du signe de x + 1 car exp > 0 sur IR.
Ainsi : f '( x ) = 0 ss x = - 1
f ' > 0 sur ] - 1 , + ∞ [
f ' < 0 sur ] - ∞ , - 1 [
Le tableau de variation est donc :
| x | - ∞ - 1 + ∞ |
| f '( x ) | - 0 + |
| f( x ) | ↓ -1 / e ↑ |
• • Donner lim f( x ) et lim f( x )
x → - ∞ x → + ∞
On a: lim x ex = + ∞ car lim exp = + ∞ et lim x = + ∞
x → +∞ x → +∞ x → +∞
Donc : lim f( x ) = + ∞
x → + ∞
On a: lim x ex = 0
x → - ∞
Donc : lim f( x ) = 0
x → - ∞
• • Justifier que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 1 ; 2 ].
Puis la donner.
◊ La fonction f est définie , continue , strictement croissante sur l'intervalle [ - 1 ; 2 ].
f( - 1 ) = - 1 / e et f( 2 ) = 2 e²
Donc f( - 1 )× f( 2 ) < 0
D'après le th de la bijection on peut dire que l' équation f( x ) = 0
admet une unique solution α .
◊ Recherche de α.
Soit x dans IR.
f( x ) = 0 s'écrit x ex = 0
c-à-d x = 0 sachant que exp est non nulle dans IR.
Conclusion : α = 0
• • Trouver l'équation réduite de la tangente à ( C ) au point d'abscisse 1.
Considérons l'équation : y = f ' ( 1 ) ( x - 1 ) + f( 1 )
On a: f '( 1 ) = ( 1 + 1 ) e = 2 e
f( 1 ) = 1 e = e
Donc en reportant:
y = 2e ( x - 1 ) + e
c-à-d
Conclusion : La tangente considérée a pour équation :
y = 2 e x - e
• • Montrer que f est une solution particulière de l'équation différentielle
y ' = y + ex .
Soit x dans IR.
f( x ) = x ex
Donc f ( x ) + ex = x ex + ex = ( 1 + x ) ex
or f ' ( x ) = ( 1 + x ) ex
D'où f '( x ) = f( x ) + ex pour tout x dans IR.
Conclusion : OUI f est solution de l'équation
différentielle y ' = y + ex
• • Soit la fonction F: x → ( x - 1 ) ex . Montrer que la fonction F est définie et dérivable dans IR
de fonction dérivée f. ( C'est une primitive de f sur IR )
La fonction F est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.
Soit x dans IR .
F( x ) = x ex - ex = f( x ) - ex
Donc F '( x ) = f ' ( x ) - ex = ( 1 + x ) ex - ex
c-à-d F'( x ) = ( 1 + x - 1 ) ex = x ex = f ( x )
Conclusion : F' = f sur IR
• Soit la fonction g : x → ex / x.
• • Trouver sa fonction dérivée g ' et donner son tableau de variation.
Soit les fonctions :
u = exp et v : x → x
On a g = u / v
u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans IR*
et v non nulles dans IR*.
Donc g est définie et dérivable dans IR*.
g ' = ( v u ' - u v ' ) / v ²
avec u ' : x → ex et v : x → 1
Soit x dans IR .
On a : g '( x ) = ( x ex - ex 1) / x2
c-à-d g ' ( x ) = ( x - 1 ) ex / x2
Comme x2 > 0 g' ( x ) est du signe de x.
Le tableau de variations est donc
x
- ∞ 0 1 + ∞
g '( x )
- || - 0 +
g( x )
↓ || ↓ e ↑
g ' : x →( x - 1 ) ex / x2
• • Trouver lim g( x ) et lim g( x )
x → - ∞ x → + ∞
◊ Comme lim ex = 0
x → - ∞
On a : lim ex / x = 0 / - ∞ = 0
x → - ∞
D'où lim g( x ) = 0
x → - ∞
◊ lim ex / x = + ∞ d'après le cours.
x → + ∞
D'où lim g( x ) = 0
x → + ∞