TEST TES DU 30 JANVIER 2012

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                 INFO  TEST TES DU 30 JANVIER 2012 

          EXERCICE 1 

               Soit la suite (un )  de terme général un = ( 2n+1)/ ( n2+ n + 1 ) pour tout n dans IN.

               Trouver   lim un  .

                             n →+ ∞

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              Réponse

             La fonction rationnelle   f: x→ ( 2 x+1)/ ( x2+ x + 1 ) est définie dans IR+   car

             x2+ x + 1 ≥ 1  pour tout réel x positif.

            Son comportement en  + ∞ est le même que celui du quotient simplifié 2 / x

           de ses termes de plus haut degré.

              Ainsi  lim f(x)    =   lim ( 2 / x ) = 0

                        x→+ ∞        x→+ ∞         

            Comme un  = f( n ) on en déduit :

             Conclusion :           lim un     = 0

                                              n →+ ∞

                   EXERCICE 2

                       Soit la suite ( wn ) de terme général          wn     =  ( 2n  + 1 ) / ( 2n  - 1)

                      pour tout n dans IN* .

                        Trouver   lim un  .

                                        n →+ ∞

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                 Réponse:

                           Factorisons 2n  au numérateur et au dénominateur puis simplifions.

                          On a :

                          wn     =  [ 2n ( 1 + 1/ 2n )] /   [ 2n ( 1 - 1/ 2n )]

         c-à-d          wn     =   ( 1 + 1/ 2n ) /  ( 1 - 1/ 2n )

                     On a           lim  2n   = +∞     car 2 > 1

                                        n → +∞

                  Donc    lim ( 1 + 1/ 2n ) = 1 + 0 = 1

                             n → +∞

                        et    

                                   lim ( 1 - 1/ 2n ) = 1 - 0 = 1

                                     n → +∞

                 D'où     lim  ( 1 + 1/ 2n ) /  ( 1 - 1/ 2n )   = 1 / 1 = 1

                                n → +∞

               Conclusion :  lim un    = 1 

                                       n → +∞

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           EXERCICE 3

                      Soit la suite récurrente ( u) définie sur IN par :

                                        u0    = 1

                                        un+1    = un    + 2   pour tout n dans IN

                     1. Donner le sens de variation de la suite ( un  ).

                     2. Exprimer un en fonction de n .

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         Réponse :

                         1.  Considérons  l'égalité       un+1    = un    + 2   pour tout n dans IN .

                                   Ainsi :     un+1   - un   =  2   pour tout n dans IN .

                               D'où   un+1   - un    > 0   pour tout n dans IN .

                           Conclusion :   La suite ( un  ) est strictement croissante sur IN.

                          2.   On reconnait  une suite arithmétique de raison  r = 2 et

                                de premier terme u0    = 1.

                                Donc    un    = u0   + n r  pour tout n dans IN .

                                   Conclusion :     un    = 1   + 2n  pour tout n dans IN .

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u0    =