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INFO TEST TES DU 30 JANVIER 2012
EXERCICE 1
Soit la suite (un ) de terme général un = ( 2n+1)/ ( n2+ n + 1 ) pour tout n dans IN.
Trouver lim un .
n →+ ∞
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Réponse
La fonction rationnelle f: x→ ( 2 x+1)/ ( x2+ x + 1 ) est définie dans IR+ car
x2+ x + 1 ≥ 1 pour tout réel x positif.
Son comportement en + ∞ est le même que celui du quotient simplifié 2 / x
de ses termes de plus haut degré.
Ainsi lim f(x) = lim ( 2 / x ) = 0
x→+ ∞ x→+ ∞
Comme un = f( n ) on en déduit :
Conclusion : lim un = 0
n →+ ∞
EXERCICE 2
Soit la suite ( wn ) de terme général wn = ( 2n + 1 ) / ( 2n - 1)
pour tout n dans IN* .
Trouver lim un .
n →+ ∞
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Réponse:
Factorisons 2n au numérateur et au dénominateur puis simplifions.
On a :
wn = [ 2n ( 1 + 1/ 2n )] / [ 2n ( 1 - 1/ 2n )]
c-à-d wn = ( 1 + 1/ 2n ) / ( 1 - 1/ 2n )
On a lim 2n = +∞ car 2 > 1
n → +∞
Donc lim ( 1 + 1/ 2n ) = 1 + 0 = 1
n → +∞
et
lim ( 1 - 1/ 2n ) = 1 - 0 = 1
n → +∞
D'où lim ( 1 + 1/ 2n ) / ( 1 - 1/ 2n ) = 1 / 1 = 1
n → +∞
Conclusion : lim un = 1
n → +∞
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EXERCICE 3
Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :
u0 = 1
un+1 = un + 2 pour tout n dans IN
1. Donner le sens de variation de la suite ( un ).
2. Exprimer un en fonction de n .
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Réponse :
1. Considérons l'égalité un+1 = un + 2 pour tout n dans IN .
Ainsi : un+1 - un = 2 pour tout n dans IN .
D'où un+1 - un > 0 pour tout n dans IN .
Conclusion : La suite ( un ) est strictement croissante sur IN.
2. On reconnait une suite arithmétique de raison r = 2 et
de premier terme u0 = 1.
Donc un = u0 + n r pour tout n dans IN .
Conclusion : un = 1 + 2n pour tout n dans IN .
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