Sujet EXERCICE 1 BAC 2018

                                  Baccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018 
 

    EXERCICE  1           (  6 points )
                            Commun à tous les candidats
            Dans cet exercice, on munit  le plan d’un repère orthonormé.
            On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :

                                  y = 1/2 ( ex + e −x −2 )
            Cette courbe est appelée une « chaînette ».

            On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points
             de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
            Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
            On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité 
            par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

                                                  Figbac18

                 Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe
                du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de
                  chaînette soit égale à sa hauteur.
               
1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions

                    strictement positives de l’équation(E) : e+ e−x − 4 x − 2 = 0.
               2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
                         f (x) = e+ e− x− 4x − 2.

                   a. Vérifier que pour tout x > 0,
                           f (x) = x( e/ x  − 4 )+ e−x −2.
                   b. Déterminer lim f (x).
                                         x→ + ∞
              3. a. On note f′ , la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f′(x),
                      où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.
                  b. Montrer que l’équation f 
(x) = 0 équivaut à l’équation :
                         (ex)2− 4 e−1 = 0.
                  c. En posant X = e, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour
                    unique solution réelle le nombre ln( 2 +√5 ).
               4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′
                  de f :
     

 x 0         ln( 2+ √5 )      + ∞ 
f ′(x)     −            0           +

                 a. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
                 b. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique 
                     solution strictement positive que l’on notera α.
           5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, 
                 b et m sont des nombres réels :  

  Tant que b − a > 0,1           faire :
                         m ← ( a +b ) / 2  
                         Si   e+ e−m − 4m −2 > 0, alors :
                                        b ←m
                         Sinon :
                                  a ←m
                         Fin Si
    Fin Tant que

           a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b 
                  contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
                 Que contiennent-elles à la fin de l’exécution
                 de l’algorithme ?
                 On justifiera la réponse en reproduisant et
                en complétant le tableau ci-contre avec les
                différentes valeurs prises par les variables, à
                chaque étape de l’algorithme.
           b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme 
               à la question précédente ?

   m     a          b        b − a   
  2 3 1
2,5          
 ... ... ...  
       

     6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux
         États-Unis, a l’allure ci-contre.

             Arche
        Son profil peut être approché par un arc de chaînette 
        renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
                  largeur     hauteur
        La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au 
        double de la solution strictement positivede l’équation :
      ( E′ ) : e( t /39) + e(− t / 39 )− 4 t / 39 − 2 = 0.
       Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

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