INFO EX. 3 DERIVATION 1S

LISTE 2               D'EX. DERIVATION                 Nov. 08      1S


EX.3   Soit f une fonction définie dans un intervalle I contenant le réel a.

         On admet que f est dérivable en a , c-à-d que  ( f( a + h ) - f( a) ) / h admet une limite finie

         notée f ' ( a ) quand h tend vers 0.

           Soit la fonction φ définie pour tout réel h tel que a + h soit dans l'intervalle I

                de la façon suivante:

             • Si h = 0 alors φ( h ) = 0 .

             •  Si h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) alors φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)

             1. Que peut-on dire de la limite de φ( h ) quand h tend vers 0?

             2. Pour h = 0 a-t-on   f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h )  ?

             3. Pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I )  a-t-on  f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h )  ?

             4.  Conséquence: Peut-on affirmer qu'il existe bien une fonction φ définie au voisinage de 0,

                  de limite nulle en 0  et telle que pour tout réel h avec a + h dans I on ait :

                       f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?

              5. Dans l'affirmative peut-on écrire f( a + h ) ≈ f( a ) + h f '( a )  pour le réel h très voisin de 0?

             6. Soit dans un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) le point A ( a , f( a ) ).

                 Soit le point M ( a + h , f( a + h ) ).

                 Soit le point H( a + h , f( a )) .

                  Faire le triangle AHM  ( pour h strictement positif  très proche de 0 ).

                  a. Montrer qu'une  valeur approchée théorique de HM est  I  h f '( a ) I .

                  b. Soit T: y = f '( a ) ( x - a ) + f( a ) la tangente à la courbe de f au point A.

                     Elle coupe la droite ( H M ) en un point N.

                     Montrer qu'une valeur approchée de NM est I h φ( h ) I . 


   REP.       1. On peut dire que φ( h ) est de limite nulle quand h tend vers 0.

                    En effet:   Comme f admet un nombre dérivé f '( a ) en a on sait que 

                     ( f(a + h ) - f( a ) ) / h    tend vers le réel f '( a) quand h tend vers 0.

                    Ainsi   ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)   tend vers  f '( a ) - f '( a )  c'est-à-dire 0

                    quand h tend vers 0.

                    φ( 0  = 0

                  Donc  φ( h ) est de limite nulle quand h tend vers 0.

                 2. OUI.   En zfet :  Pour h = 0   l'égalité    f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) 

                              s'écrit 0 = 0. Ce qui est vrai.

                3. OUI. Pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I )  on a bien  f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ).

                 En effet  pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I )  on a :

                                    φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)

                     c-à-d     h φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) - h f '( a )  En multipliant par h.

                    c-à-d    h φ( h )  + h f '( a )  = ( f(a + h ) - f( a ) )

                      c-à-d  h φ( h )  +h  f '( a )  + f( a)  = ( f(a + h )

                          L'égalité est bien vraie dans ce cas aussi

                  4. OUI.  On vient dans les trois dernières questions de l'établir.

                      En effet:

                      La fonction  φ définie dans la première question est définie au voisinage de 0.

                     Elle est de limite nulle en 0.

                     De plus que h soit nul ou non mais tel que a + h soit dans I on a bien

                    l'égalité : f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ).

                    5. OUI.  En négligeant  h φ( h )  dans le membre de droite de l'égalité

                   f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) on peut dire  pour tout réel h tel

                   que a + h soit dans I   ,   f( a + h ) ≈ f( a ) + h f '( a )  .

                    5.  Vect( HM )  a pour coordonnées   ( a + h - ( a + h )  , f( a + h ) - f( a )  )    

                       c-à-d    (  0 , h f '( a ) ) environ pour h voisin de 0 tel que  a + h soit dans I.    

                      D'où  HM est environ  I h f ' ( a ) I.

                    6.  Le point N est d'abscisse a + h et est situé sur la droite

                        T : y = f '( a ) ( x - a ) + f( a ).

                     Donc l'ordonnée de N est  f '( a ) ( a + h - a ) + f( a ) = f '( a ) h + f( a )

                      On a donc le point N ( a + h , f '( a ) h + f( a ) ).

                     Ainsi le vecteur  vect( NM) a pour coordonnées (  a + h - ( a + h ) , f( a + h ) - ( f '( a ) h + f( a ) ) ,

                      c-à-d    ( 0 , f( a + h ) - f( a ) -  f '( a) h ) , c-à-d   ( 0 ,   h φ( h ) )

                       Donc sa norme  NM  est  I  h φ( h ) I .