INFO FEUILLE SUR LES ROC TS spé maths.
EXERCICE1.
Le but est de démontrer que l'ensemble des nombres
premiers est infini, en raisonnant par l'absurde.
1. On suppose qu'il existe un nombre fini n de nombres premiers ,
notés: p1 , p2 ,...... , pn
On considère le nombre E , produit de tous les nombres
premiers augmenté de 1 :
E = p1 × p2 ×..... × pn + 1
Démontrer que E est un entier supérieur ou égal à 2 et que E est
premier avec chacun des nombres p1 , p2 ,...... , pn .
REPONSE:
• On a :
p1 × p2 ×..... × pn ≥ 1 car pi ≥ 2 pour tout i dans { 1 ,2, ... , n }
Donc: p1 × p2 ×..... × pn + 1 ≥ 2
E ≥ 2 .
• Raisonnons par l'absurde:
On a: E − ( p1 × p2 ×.....× pi ×....× pn ) = 1
Supposons qu'il existe i dans { 1 ,2, ... , n } tels que PGCD( E , pi ) ≠ 1
Comme pi est un nombre premier ( Donc divisible par deux entiers distincts 1 et pi )
pi doit diviser E.
Or pi divise p1 × p2 ×.....× pi ×....× pn
Ainsi pi divise E − ( p1 × p2 ×.....× pi ×....× pn )
c-à-d pi divise 1 Ce qui est absurde sachant pi ≥ 2 .
Conclusion: E est bien premier avec tous les pi où i est dans { 1 ,2, ... , n }.
PGCD( E , pi ) = 1 pour tout i est dans { 1 ,2, ... , n }.
2. En utilisant le fait que E admet un diviseur premier, conclure.
REPONSE:
Comme E ≥ 2 , d'après un résultat de cours, E admet au moins un diviseur premier.
Donc il existe au moins un i dans { 1,2,....,n } tel que pi | E.
Ce qui est impossible puisque PGCD( E , pi ) =1
Conclusion: l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini donc infini.
EXERCICE 2
Soit a et b deux entiers relatifs tels que ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ).
Établir le résultat :
Tout diviseur commun de a et b divise PGCD(a , b ).
REPONSE:
On sait d'après l'égalité de Bezout:
Il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = PGCD( a , b )
Ainsi : Tout diviseur commun de a et b divise a u + b v
c-à-d Tout diviseur commun de a et b divise PGCD( a , b )
Conclusion: Le résultat est avéré.
EXERCICE 3
Soit a et b deux entiers relatifs tels que ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ).
Soit m un entier relatif non nul.
Établir le résultat :
a x + b y = m admet au moins un couple ( x , y ) solution dans Z2
si et seulement si PGCD( a , b ) | m
REPONSE:
• ⇒
Il existe au moins un couple ( x ; y ) dans Z2 tel que a x + b y = m
Mais PGCD( a , b ) | a et PGCD( a , b ) | b
Donc PGCD( a , b ) | a x + b y
c-à-d PGCD( a , b ) | m
L'implication est avérée.
• Réciproque:
On a d'après l'égalité de Bezout:
Il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = PGCD( a , b )
Comme PGCD( a , b ) | m , il existe k dans Z tel que m = k PGCD( a , b )
Donc : a k u + b k v = k PGCD( a , b )
c-à-d a ( k u ) + b( k v ) = m
Ainsi, en posant x = k u et y = kv , on obtient a x + by = m
Il existe bien un couple ( x ; y ) de Z2 tels que a x + by = m
L'implication réciproque est avérée.
Conclusion: L'équivalence est avérée.
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