INFO LISTE2 EX DENOMB BTS

INFO    LISTE 2   EX             DENOMBREMENTS    BTS      Nov  08

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          EX .1    15 chefs d'état, dans une assemblée ,  se serrent chacun la main.

                      Indiquons le nombre de poignées de mains échangées.

                     Il y a une poignée de mains chaque fois qu'une partie

                    de deux chefs d'état est considérée.

                    Il y a donc autant de poignées de mains que de combinaisons de deux

                    chefs d'état choisis parmi les 15 chefs d'état.

                    Ainsi il y en a  C15 2  = 105

                   Conclusion:    Il y a 105 poignées de mains.

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          EX. 2         1. Dénombrons les caractères BRAILLE. 

 
  
                              Il y a 6 sommets . Chacun est soit  troué , soit non troués à priori.

                                  I 2 I 2 I ...         I 2 I 2 I

                              Cela fait 2 possibilités par sommet.

                              Au total si l'on acceptait qu'aucun trou soit une possibilité,

                              il y aurait   216   =  64 possibilités.

                              Mais on refuse le " Aucun trou".

                           Il n'y a plus que   216    - 1 = 63 possibilités.

                    Conclusion        Il y a  63 caractères BRAILLE.

                             2. Dénombrons les caractères BRAILLE avec trois trous seulement.

                                    Pour un tel caractère il faut choisir une partie de 3

                                    sommets parmi les 6 sommets.

                                    Il y en a donc autant que de combinaisons de  3 sommets

                                   choisis parmi les 6 sommets.

                                     Il y en a donc      C6 3     =  20.

                        Conclusion        Il y a  20 caractères BRAILLE avec  3 trous.

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                 EX.3     Le damier  comporte 16 cases. On dispose de 4 jetons  à placer.

                          1. Dénombrons les façons de poser ces jetons.

                              Cela revient à dénombrer les parties de 4 cases dans

                              un ensemble de 16 cases afin d'y placer les quatre jetons

                             Il y a donc autant de façons de les placer que de combinaisons

                             de 4 cases choisies parmi 16 cases.

                             C'est-à-dire il y en a   C16 4     = 1820  façons.

                              Conclusion        Il y a  1820 façons  de placer les 4 jetons.

                         2.Dénombrons  les façons de ne pas avoir de jetons dans les diagonales.

                             Il y a 8 cases disponibles  en moins pour poser les 4 jetons.

                             Ainsi il y a donc autant de façons de les placer hors diagonales

                            que de combinaisons de 4 cases choisies parmi 8 cases.

                            C'est-à-dire il y en a   C8 4     =70 façons.

                              Conclusion        Il y a  70 façons  de placer les 4 jetons hors diagonales.

                           3.Dénombrons  les façons de placer exactement 3 jetons dans une même

                              diagonale.

          • Pour la diagonale montant vers la droite:

             Il y a   C4 3        façons de choisir 3 cases dans cette diagonale pour y mettre  3 jetons.

            Il y a   C12 1       façons de choisir 1 cases hors de cette diagonale pour y mettre un jeton.

            Donc il  y a      C4 3   × C12 1   = 48  façons de placer exactement 3 jetons sur cette diagonale

         Pour l'autre diagonale il ya autant de façons.

          Au total il a   2 × 48 = 96  façons de choisir exactement 3 jetons dans une  même

         diagonale. 

                           Conclusion        Il y a  96 façons  de placer exactement 3 jetons dans une

                                                    même diagonale.

                             4. Dénombrons  les façons  de placer un et un seul jeton sur

                                 chaque ligne et sur chaque colonne.

               Pour la première ligne il y a 4 places possibles .

               Pour la deuxième ligne il n'y a plus alors que 3 places possibles .  

               Pour la troisième  ligne il n'y a plus alors que 2  places possibles .

               Pour la quatrième ligne il n'y a plus alors que 1 place possible . 

                Finalement il y a    4 × 3 × 2 × 1 = 4!    posibilités . 

                                Conclusion        Il y a  24  façons  de placer un et un seul jeton

                                                           sur chaque et sur chaque colonne.

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         EX.4    Une commission de  7 personnes est à nommer parmi 21 personnes dont 

                    12 hommes et 9 femmes.

               1. Dénombrons les commissions possibles avec 3 femmes et 4 hommes.

                     Il y a  C12 4      façons de choisir  4 hommes parmi  12 hommes.

                     Il y a  C9 3      façons de choisir  3 femmes  parmi  9 femmes.

                  Donc il y a     C12 4   ×  C9 3   = 41580  façons de former une commission

                 de ce type.

                        Conclusion        Il y a  41580   façons  de former ce type de commission.

                  2. Dénombrons  les commissions où il y a au moins une femme. 

                       Le nombre total de commissions sans exigence est  C21 7   .

                        Le nombre total de commissions sans femme est   C12 7   .

                      donc le nombre de commissions avec au moins une femme est

                       C21 7   -  C12 7     = 115 488

                 Conclusion        Il y a  115 488 commissions avec au moins une femme.  

                  3. Dénombrons  les commissions où il n ' y a pas MrTartanpion ni Mme Cake.

                        • Le nombre total de commissions sans exigence est  C21 7   .

                       • Le nombre total de commissions où Mr Tartanpion et Mme Cake

                          se retrouvent  est :     1  × 1  × C19 5   .

                         En eff et , en dehors de Mr Tartanpion et Mme Cake il ne reste plus que 5 personnes

                           à désigner parmi les 19 autres.

                               Donc il y a     C21 7  - 1  × 1  × C19 5  = 104652 commissions où il n'y a pas en même temps

                               Mr Tartanpion et Mme Cake .

                             Conclusion        Il y a  104652 commissions où MrTartanpion et  Mme Cake ne

                                                       se trouvent pas en même temps.

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                EX. 5      André veut mettre 50 livres sur 3 étagères.

                             Dénombrons les possibilités.

                            Faisons un schéma avec 50 cases:         I 3 I 3 I 3 I 3 I......   I 3 I  

                             d'après le "principe multiplicatif "on a  350   possibilités.

                           Conclusion        Il y a    350   possibilités.

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               EX. 6   L'urne contient 100 boules dont 55 boules noires et 45 boules vertes.

                          On tire simultanément 10 boules de l'urne au hasard.

                    1. Trouvons Card( Ω )   où   est l'univers des possibles.

                        Chaque tirage est une ciombinaison de 10 boules choisies

                       parmi les 100 boules de l'urne. 

                        Il y en donc    C100 10     .

                   Conclusion       Card ( Ω ) =  C100 10    

                      2. Donnons Card( A ).       

                           A est l'événement :" obtenir 6 boules vertes et 4 boules noires "

                           Il y a C45 6     parties de 6 boules vertes .

                            Il y a C55 4     parties de 4 boules noires .

                            Chaque élément de A est la réunion d'une partie de 6 boules

                            vertes avec une partie de 4 boules noires.

                          Il y en a donc  C45 6  ×  C55 4   .

                          Conclusion       Card ( A ) = C45 6  ×  C55 4  

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