EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE 1S AVRIL 2009
EXERCICE 16
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( I ) , vect( J ) ) qui n'apparaît pas
sur la figure.
On considère un autre repère normé d'axes obliques ( O ; vect( OA ) , vect( OB ) ).
Les vecteurs vect( i ) et vect( j ) sont respectivement les vecteures vect( OA ) et vect( OB ).
Les vecteurs vect( i ) et vect( j ) sont de norme 1.
( Attention: vect( i ) et vect( j ) ne sont pas orthogonaux . )
On a l'angle géométrique (AOB ) qui mesure α radians.
( La figure ci-dessus est avec α = π / 6 radians. )
Dans le repère ( O ; vect( OA ) , vect( OB ) ) on considère
les points C( 1 ; 2 ) et D( 2 ; - 1 ).
On pose vect ( u ) = vect( OC ) c-à-d vect( u ) = 1 vect( i ) + 2 vect( j ).
On pose vect ( v ) = vect( OD ) c-à-d vect( v ) = 2 vect( i ) - 1 vect( j ).
a. Calculer ( vect( u ) ) ² , ( vect( v ) )² , vect( u ) . vect( v ) en fonction de α .
b. Pour chacun des cas suivants α = π / 3 radians et α = π / 2 radians
donner une valeur approchée de l'angle géométrique ( COD ).
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Réponse:
a. On a :
( vect( u ) ) ² = ( 1 vect( i ) + 2 vect( j ) )² = || vect( i ) ||² + || 2 vect( j ) ||² + 2 vect( i ) . ( 2 vect( j ) )
c-à-d
( vect( u ) ) ² = 1 ² + 4 || vect( j ) ||² + 4 vect( i ) . vect( j )
c-à-d
( vect( u ) ) ² = 1 + 4 × 1² + 4 ||vect( i ) || × || vect( j ) || cos ( vect( i ) , vect( j ) )
c-à-d
( vect( u ) ) ² = 5 + 4 × 1 × 1 cos ( AOB)
Conclusion : ( vect( u ) ) ² = 5 + 4 cos α
De la même façon:
On a :
( vect( v ) ) ² = ( 2 vect( i ) - vect( j ) )² = 4 || vect( i ) ||² + || vect( j ) ||² - 4 vect( i ) . vect( j ) c-à-d ( vect( v ) ) ² = 4× 1² + 1² - 4 vect( i ) . vect( j )
c-à-d ( vect( v ) ) ² = 5 - 4 ||vect( i ) || × || vect( j ) || cos ( vect( i ) , vect( j ) ) c-à-d ( vect( v ) ) ² = 5 - 4 ×1 ×1 cos ( AOB)
Conclusion : ( vect( v ) ) ² = 5 - 4 cos α
De la même façon:
vect( u ) . vect( v ) = ( 1 vect( i ) + 2 vect( j ) ). ( 2 vect( i ) - vect( j ) )
c-à-d
vect( u ) . vect( v ) = 2 (vect( i ) )² - 2 ( vect( j ) )² - vect( i ) .vect( j ) + 4 vect( j ) . vect( i )
c-à-d
vect( u ) . vect( v ) = 2 ( 5 + 4 cos α )² - 2 ( 5 - 4 cos α )² + 3 vect( i ) .vect( j )
c-à-d comme on a vu que vect( i ) . vect( j ) = cos α
vect( u ) . vect( v ) = 2 ( 5 + 4 cos α )² - 2 ( 5 - 4 cos α )² + 3 cos α
c-à-d
vect( u ) . vect( v ) = 2[ ( 5 + 4 cos α )² - ( 5 - 4 cos α )² ] + 3 cos α
c-à-d
vect( u ) . vect( v ) = 2 ( 5 + 4 cos α + 5 - 4 cos α )( 5 + 4 cos α - 5 + 4 cos α )+3 cos α
c-à-d
vect( u ) . vect( v ) = 2 ( 10 ) 8 cos α +3 cos α
c-à-d
Conclusion vect( u ) . vect( v ) = 163 cos α
b. Pour avoir cos( COD ) utilisons le produit scalaire
vec( OC ) . vect( OD ) = || vect( OC ) || × || vect( OD ) || cos ( COD )
c-à-d vect( u ). vect( v ) = || vect( u ) || × || vect( v ) || cos ( COD )
c-à-d 163 cos α = √( ( vect( u ) )² ) × √( ( vect( v ) )² ) cos( COD )
c-à-d 163 cos α = √( 5 + 4 cos α ) √( 5 - 4 cos α ) cos( COD )
Ainsi : cos( COD ) = ( 163 cos α ) / ( √( 5 + 4 cos α ) √( 5 - 4 cos α ) )
• pour α = π / 3 radians . On a cos (π / 3 ) = 0,5
cos( COD ) = ( 163 × 0,5 ) / ( √( 5 +2 ) √( 5 - 2 )
cos( COD ) = ( 163 × 0,5 ) / ( √( 7 ) √( 3 )
On peut utiliser la fonction cos- 1 pour obtenir une valeur approchée de l'angle
( COD ).
• pour α = π / 2 radians . On a cos ( π / 2 ) = 0
cos( COD ) = ( 163 × 0) / ( √( 5) √( 5) ) = 0 L'angle ( COD ) est droit.
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