EX 16 PROD SCAL 1S AVRIL 09

    EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE   1S  AVRIL 2009

   EXERCICE  16

           Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( I ) , vect( J ) ) qui n'apparaît pas

           sur la figure.

           

        On considère un autre repère normé d'axes obliques ( O ; vect( OA ) , vect( OB ) ).

         Les vecteurs  vect( i )  et vect( j )  sont respectivement les vecteures vect( OA ) et vect( OB ).

         Les vecteurs  vect( i )  et vect( j )  sont de norme 1.

         ( Attention:  vect( i ) et vect( j ) ne sont pas orthogonaux . )

         On a  l'angle géométrique (AOB ) qui mesure α radians.

        ( La figure ci-dessus est avec  α =   π / 6 radians. )

        Dans le repère  ( O ; vect( OA ) , vect( OB ) )  on considère

        les points  C( 1 ; 2 ) et  D( 2 ; - 1 ).

         On pose  vect ( u ) = vect( OC )   c-à-d     vect( u ) = 1 vect( i ) + 2 vect( j ).

         On pose  vect ( v ) = vect( OD )   c-à-d      vect( v ) = 2 vect( i ) - 1 vect( j ).

         a. Calculer ( vect( u ) ) ²    ,  ( vect( v ) )²  , vect( u ) . vect( v )  en fonction de α .

         b.  Pour chacun des cas suivants   α =   π / 3 radians et α =   π / 2 radians

              donner une valeur approchée de l'angle géométrique ( COD ).

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    Réponse:

        a.    On a :  

     ( vect( u ) ) ²  =  ( 1 vect( i ) + 2 vect( j ) )² = || vect( i ) ||² + || 2 vect( j ) ||² + 2 vect( i ) . ( 2 vect( j ) )

 c-à-d

  ( vect( u ) ) ²  =  1 ² + 4 ||  vect( j ) ||² + 4 vect( i ) . vect( j )

c-à-d

  ( vect( u ) ) ²  =  1 + 4  × 1² + 4 ||vect( i ) ||  × ||  vect( j ) || cos ( vect( i ) , vect( j ) )

c-à-d

 ( vect( u ) ) ²  =  5  + 4 × 1  × 1 cos ( AOB)

   Conclusion : ( vect( u ) ) ²  =  5  + 4 cos α

           De la même façon:

                                 On a :  

( vect( v ) ) ²  =  ( 2 vect( i ) - vect( j ) )²   = 4  || vect( i ) ||² + ||  vect( j ) ||² - 4 vect( i ) .  vect( j )

 c-à-d

  ( vect( v ) ) ²  = 4× 1²  + 1² -  4 vect( i ) . vect( j )

c-à-d

  ( vect( v ) ) ²  =  5 -  4 ||vect( i ) ||  × ||  vect( j ) || cos ( vect( i ) , vect( j ) )

c-à-d

 ( vect( v ) ) ²  =  5  - 4  ×1  ×1 cos ( AOB)

Conclusion : ( vect( v ) ) ²  =  5  - 4 cos α

           De la même façon:

       vect( u ) . vect( v )  =  ( 1 vect( i ) + 2 vect( j ) ). ( 2 vect( i ) - vect( j ) )

 c-à-d 

  vect( u ) . vect( v )  =  2 (vect( i ) )² - 2 ( vect( j ) )² -  vect( i ) .vect( j ) + 4 vect( j ) . vect( i )

c-à-d

    vect( u ) . vect( v )  =  2 ( 5 + 4 cos α )² - 2 ( 5 -  4 cos α  )² + 3 vect( i ) .vect( j )

c-à-d    comme on a vu que  vect( i ) . vect( j ) = cos α 

  vect( u ) . vect( v )  =  2 ( 5 + 4 cos α )² - 2 ( 5 -  4 cos α  )² + 3 cos α 

  c-à-d

 vect( u ) . vect( v )  =  2[ ( 5 + 4 cos α )² - ( 5 -  4 cos α  )² ] + 3 cos α 

 c-à-d

vect( u ) . vect( v )  =  2 ( 5 + 4 cos α +  5 -  4 cos α  )(  5 + 4 cos α -  5 + 4 cos α  )+3 cos α 

c-à-d   

vect( u ) . vect( v )  =  2 ( 10 ) 8 cos α +3 cos α 

 c-à-d 

 Conclusion     vect( u ) . vect( v ) = 163  cos α  

     b. Pour avoir cos( COD ) utilisons le produit scalaire

           vec( OC ) . vect( OD ) = || vect( OC ) || × || vect( OD ) || cos ( COD )

  c-à-d     vect( u ). vect( v ) = || vect( u ) ||   × || vect( v ) || cos ( COD )

      c-à-d     163 cos α  = √( ( vect( u ) )² )  × √( ( vect( v ) )² )   cos( COD )

     c-à-d       163 cos α  =  √(  5 + 4 cos α )  √(  5 - 4 cos α )  cos( COD )

         Ainsi :      cos( COD ) = ( 163 cos α ) / ( √(  5 + 4 cos α )  √(  5 - 4 cos α )  )

          • pour α =   π / 3 radians .    On a cos (π / 3 ) = 0,5

                      cos( COD ) = ( 163 × 0,5 ) / ( √(  5 +2 )  √(  5 - 2 ) 

                       cos( COD ) = ( 163 × 0,5 ) / ( √( 7 )  √(  3  ) 

              On peut utiliser la fonction cos- 1    pour obtenir une valeur approchée de l'angle

              ( COD ).

            • pour α =   π / 2 radians .  On a cos (  π / 2 ) = 0

                      cos( COD ) = ( 163 × 0) / ( √(  5)  √(  5) ) = 0

                           L'angle ( COD )  est droit.

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