INFO DS n°9 15 mai 2007 TS1

               INFO   DS n°9     15 mai 2007       Calcul intégral        

           EXERCICE  BAC

                       On considère la fonction f définie sur [ 0 , + ∞ [  par f( x ) = [ ln ( x + 3 ) ] / (x + 3 )   .

             1. Montrer que f est dérivable sur  [ 0 , + ∞ [ . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ' , sa limite

                  éventuelle en +  ∞ , et dresser le tableau de ses variations.

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Réponse:

         •   Soit la fonction  affine u : x → x + 3

            La fonction u est définie dérivable strictement positive dans l'intervalle  [ 0 , + ∞ [ .

           La fonction ln o u est donc définie et dérivable dans  [ 0 , + ∞ [ .

           On a :   f  =  ln o u   /  u  ,

             Conclusion : f est bien définie et dérivable dans  [ 0 , + ∞ [ .

         •  Calculons f '.

                f ' = [ u × ( ln o u ) ' - ( ln o u ) ×u ' ] / u2   [ u × ( u ' / u ) - ( ln o u ) ×u ' ] / u

            c-à-d   

              f ' =   [  u '  - ( ln o u ) ×u ' ] / u

                On a : u ' : x→ 1

             Soit x dans [ 0 , + ∞ [ .

               f '( x ) = [ 1 - ln( x + 3 ) ] / ( x + 3 )2    =  [ ln( e) - ln( x + 3 ) ] / ( x + 3 )2  

             Comme    ( x + 3 )2   > 0    pour tout   x dans   [ 0 , + ∞ [ .

            f '( x ) est du signe de  ln( e) - ln( x + 3 )      pour tout x ≥0 .        

        Comme x ≥ 0      on a  :  x + 3 > e

                                   Ainsi   :  ln( e ) - ln ( x + 3 ) < 0  

          c-à-d

           Conclusion:  f '( x ) < 0  pour tout x dans [ 0 ,  + ∞[

          f est décroissante sur  [ 0 , + ∞ [ .

          • Tableau de variation.

x 0                    +∞  
f '( x )            -
f (x )            ↓

                 f( 0) =  ln(3)  /  3

         • Donnons  lim f

                               +  

                On a     lim  ( lnX ) / X = 0             lim( x + 3 ) =  +∞ 

                             X→ +∞                                x→ +∞  

              Donc    lim   ( ln( x + 3 )) / ( x + 3) = 0  

                               x→ + ∞  

          Conclusion :   lim f = 0

                                       + ∞ 

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             2. On définit la suite ( un )n≥0   par son terme général   un = ∫nn+1  f(x) dx

                   a. Justifier que , si n ≤ x ≤ n + 1 , alors  f( n + 1 ) ≤  f(x )  ≤ f( n )

                   b. Montrer , sans chercher à calculer  un  , que , pour tout entier naturel n dans IN*,

                                                     f( n + 1 )  ≤    un   ≤  f(n )

                  c. En déduire que la suite (   un  ) est convergente et déterminer sa limite.

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  Réponse:

                  a. Soit n dans IN*.

                          f est décroissante sur  [ 0 , + ∞ [.

                       Donc 

                        Si  n ≤ x ≤ n + 1 , alors  f( n + 1 ) ≤  f(x )  ≤ f( n )

                    Conclusion :  On a bien le résultat.

                 b.Soit n dans IN*.

                       La fonction f est définie et continue sur l'intervalle  [ n , n + 1 ]

                      De plus   pour tout x dans  [n , n + 1 ]  on a   f( n + 1 ) ≤  f(x )  ≤ f( n )

                            Donc d'après une propriété de  cours.

                                      ( ( n + 1) - n ) ×  f( n + 1 )   ≤ ∫n n + 1  f(x ) dx ≤   ( ( n + 1) - n ) × f( n )  

                                         c-à-d     1 ×  f ( n + 1 )   ≤   un ≤   × f ( n )

                                                     Conclusion :  on a le résultat.

                       c. D'après le th. des gendarmes , comme    f ( n + 1 )   ≤   un  ≤    f ( n )

                           pour tout n dans IN , et    lim f = 0  la suite (  u ) converge et admet comme limite 0.

                                                                           x→ +∞

                                           Conclusion : La suite  ( u ) converge et admet comme limite 0.

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    3. Soit F la fonction définie sur  [ 0 , + ∞ [  par F( x ) =( ln( x + 3 ) )2   

                  a. Justifier la dérivabilité sur  [ 0 , + ∞ [  de la fonction F et déterminer , pour tout réel

                       positif x , le nombre F'( x ).

                  b. On pose, pour tout entier naturel n , I ∫0n  f(x) dx   .

                     Calculer  In   .

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     Réponse :

                             a.  •On a : F = ( ln o u )2     avec  u : x→ x + 3 

                                  On a déjà vu que ln o u était définie et dérivable dans  [ 0 , + ∞ [  .

                                 Donc:  

                                  Conclusion :  F est définie et dérivable comme produit de telles fonction.

                               •  Recherche de F '( x ) avec x ≥0.

                                     F ' = 2 ln o u  × ( ln o u ) ' = 2 ln o u  ×  ( u ' /  u )   

                                                                         u ' : x : x→ 1

                                     Soit x ≥ 0 

                                      Conclusion :      F '( x  ) = 2 ln( x + 3 )   / (x + 3 )   avec x   ≥ 0                         

                                                b. Calcul de In  .

                                         On vient de voir que  F '( x ) = 2 f(x )  pour tout x dans [ 0 , + ∞ [.

                                        ( 1 / 2) F est donc une primitive de f sur [ 0 , + ∞ [ .

                                         Ainsi :      In  = 0,5 ×(   F( n ) - F( 0) )

                                           F( n ) - F( 0) = ( ln( n + 3 ))- ( ln3 )

                                     Conclusion :  In = 0,5 ×( ( ln( n + 3 ))- ( ln3 )2   )       avec n ≥0

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                       4. On pose, pour tout entier naturel n non nul ,   Sn = u0 + u1 + ... + un-1   .

                    Calculer Sn   . La suite ( Sn ) est-elle convergente.

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                Réponse:

                                         • Calcul de Sn  .

                                           S=  ∫0 f(x ) dx     +∫1 2    f(x ) dx +  .....          +  ∫n- 1 n    f(x ) dx = In

                                           On a :     lim ( n + 3) = + ∞  et      lim ln X =  + ∞

                                                            n →  + ∞                           X →  + ∞

                                             Donc:            lim  ( ln( n + 3 ))- ( ln3 )) = +∞

                                                            n →  + ∞

                                          lim I = + ∞

                                         n →  + ∞

                                       Conclusion : La suite ( Sn ) diverge vers +

                   

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