EX 11 PROD SCAL 1S AVRIL 09

 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE     1S   AVRIL 2009

   EXERCICE 11

            Le plan est muni d'un repère orthonormal.

            Soit la droite D: y = x + 1 .

            Soit le point A( 2 ; 4 ).

            Soit A' le symétrique de A par rapport à D.

             a. Que peut-on dire du vecteur vect( AA' )  et du milieu K du segment [ AA' ] ?

             b. Trouver les coordonnées du point A'.

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   Réponse:

             Figure

          Notons que graphiquement on conjecture A' ( 3 ; 3 ).

           a. On peut dire:

                  Le vecteur vect( AA' ) est orthogonal à D.  ( 1 )

                 Le milieu K du segment [ AA' ] est sur D.    ( 2 )

           b.

                 • Traduisons ( 2 ).

                    Notons ( x ; y  ) les coordonnées de A ' .

                    Les coordonnées du point K sont : (   ( 2 + x ) / 2  ; ( 4 + y ) / 2  )

                    ( 2 ) se traduit par :       ( 4 + y ) / 2  =( 2 + x ) / 2   + 1

                     c-à-d                 4 + y = 2 + x + 2

                      c-à-d        y = x

                     • Traduisons ( 1 ).  

                        Les coordonnées du vecteur vect( AA' ) sont :  ( x - 2 ; y - 4 ).

                        Un vecteur directeur de D est  vect( u ) de coordonnées ( 1 ; 1 ).

                          ( 1 ) se traduit par les vecteurs  vect(  u )  et vect( A A' ) sont orthogonaux.

                         c-à-d                 1 ( x - 2 ) + 1 ( y - 4 ) = 0

                          c-à-d                   x + y - 6 = 0 

                        Considérons  à présent le systeme :

                                         y = x              ( 2 )

                                     x + y - 6 = 0        ( 1 )                             

                         ( 1 ) donne à l'aide de ( 2 ) :

                         2 x - 6 = 0   

                         c-à-d               x = 3

                        Puis ( 2 ) donne    y = 3

            Conclusion :     On a  A ( 3 ; 3 )

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