FEUILLE D'EXERCICE n°2 Leçon n°5

                FEUILLE D'EXERCICE n° 5                             Décembre 2013               TS1

           EXERCICE 1

                       Soit la fonction

                                      Premfonc

                           définie sur IR.

             1. Montrer que sa fonction dérivée  a pour expression :   

                                    Derivf                 

             2. Etudier son sens de variation .

            3. Donner ses limites en + ∞ et - ∞ .

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         REPONSE:

            1. Calcul de  Fprimdex

                       f  est définie et dérivable dans IR comme produit de telles fonctions: 

                                 •   w : x → x - 1     fonction affine  définie et dérivable sur IR

                                 •    Fonctionv   

                                    où   v = eu      avec  u : x → x2    qui est définie et dérivable dans IR

                     Soit x dans IR:

                        On a :   

                         Expresfprim

            2.  Sens de variations.

                     On a  f ' ( x ) qui est du signe de   x2   + ( x - 1 )2     pour tout x dans IR

                          car exp > 0 sur IR.

                        Or:

                               x2   + ( x - 1 )2   > 0   pour tout x dans IR

                           comme de deux carrrés non simultanément nuls.

                    Ainsi:    f ' > 0 sur IR.

                          Conclusion:  f est strictement croissante sur IR

          3. Recherche des limites.

                - ∞  et  + ∞ sont des extrémités de l'intervalle de définition.

                On peut faire la recherche.

                • En  + ∞.

                     lim ( x - 1 ) = + ∞

                     x   →   + ∞   

                    De plus:

                       Limexp

                    car      lim  x2  = + ∞    et     lim   eX   =   + ∞  

                                 x   →   + ∞               X  →   + ∞    

                  Donc  :    

                        Conclusion :

                                          Limenplusinfini

                                 c-à-d         lim  f = +  ∞

                                                  x   →   + ∞  

                   •  En -  ∞

                                 lim ( x - 1 ) = - ∞

                               x   →   - ∞   

                    De plus:

                                    Limenmoinsinfini 1

                             car          lim  x2  = + ∞    et     lim   eX   =   + ∞  

                                                x   →   - ∞               X  →  + ∞                           

                      Donc  :    

                                    Conclusion :

                                          Limenmoinsinfini2

                                    c-à-d             lim  f =   - ∞    

                                                            x   →   - ∞

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