INFO Ex n° 27 page 106 Livre Hyperbole 1 ES

 INFO   EX n° 27 page 106           Livre Hyperbole  1ES    15/09/09

        EXERCICE 27   

      Résolvons le système dans IR3   :

           5 x + 10 y + 2 z    =  20            L1

            1  x  +   y  +  z       =  3         L2

          2 x  - 3 y  +  5  z     = 1           L3

            METHODE PAR TRIANGULARISATION.

        Il est intéressant de permuter les deux premières

        équations pour avoir 1 devant x dans la première égalité .

       ( c'est le premier pivot )

          L2      ↔       L1  

       On obtient le système équivalent suivant :

            1 x  +   y  +  z          =  3         L1

              5 x + 10 y + 2 z      = 20        L2

                 2 x  - 3 y  +  5  z     = 1           L3      

        Considérons

           L2     ←   L2   - 5 L1

             L3     ←   L3   - 2 L1

          On obtient le système équivalent suivant:

               1 x  +   y  +  z          =  3             L1

                       5  y  -  3  z         =  5                 L2

                    - 5 y  +  3  z        =  - 5              L3

       Considérons     L3     ←   L3   +  L2

        On obtient :

                1 x  +   y  +  z          =  3         L1

                       5  y  -  3  z      =  5                   L2

                      0 y  +  0  z     =  0                 L3

         Il manque une équation.

         Nous devons prendre une des inconnue comme

         paramètre. Prenons z par exemple.

          y puis x seront alors exprimés en fonctionde z.

            L2     donne   5 y = 5 + 3 z

                       c-à-d       y = ( 5 + 3 z  ) / 5 = 1 + ( 3 / 5 ) z

                       c-à-d      y =  1 + ( 3 / 5 ) z

           L1     donne         x = - y - z + 3

                     c-à-d         x = - ( 1 + ( 3 / 5 ) z ) - z + 3

                     c-àd         x = - 1 - ( 3 / 5 ) z   - z + 3

                     c-à-d        x = 2 - ( 3 / 5 ) z   - z

                     c-à-d        x = 2  - ( 3 / 5 ) z   - ( 5 / 5 ) z

                     c-à-d        x = 2 - (8 / 5 ) z

        Il y a une infinité de triplets solutions.

       Chaque fois que l'on fixe z il y a un triplet solution particulier.       

   Conclusion :  { (  2 - (8 / 5 ) z ,  1 + ( 3 / 5 ) z   ,   z )    / z dans IR }

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