INFO EX n° 27 page 106 Livre Hyperbole 1ES 15/09/09
EXERCICE 27
Résolvons le système dans IR3 :
5 x + 10 y + 2 z = 20 L1
1 x + y + z = 3 L2
2 x - 3 y + 5 z = 1 L3
METHODE PAR TRIANGULARISATION.
Il est intéressant de permuter les deux premières
équations pour avoir 1 devant x dans la première égalité .
( c'est le premier pivot )
L2 ↔ L1
On obtient le système équivalent suivant :
1 x + y + z = 3 L1
5 x + 10 y + 2 z = 20 L2
2 x - 3 y + 5 z = 1 L3
Considérons
L2 ← L2 - 5 L1
L3 ← L3 - 2 L1
On obtient le système équivalent suivant:
1 x + y + z = 3 L1 5 y - 3 z = 5 L2 - 5 y + 3 z = - 5 L3 Considérons L3 ← L3 + L2 On obtient : 1 x + y + z = 3 L1 5 y - 3 z = 5 L2 0 y + 0 z = 0 L3 Il manque une équation. Nous devons prendre une des inconnue comme paramètre. Prenons z par exemple. y puis x seront alors exprimés en fonctionde z. L2 donne 5 y = 5 + 3 z c-à-d y = ( 5 + 3 z ) / 5 = 1 + ( 3 / 5 ) z c-à-d y = 1 + ( 3 / 5 ) z L1 donne x = - y - z + 3 c-à-d x = - ( 1 + ( 3 / 5 ) z ) - z + 3 c-àd x = - 1 - ( 3 / 5 ) z - z + 3 c-à-d x = 2 - ( 3 / 5 ) z - z c-à-d x = 2 - ( 3 / 5 ) z - ( 5 / 5 ) z c-à-d x = 2 - (8 / 5 ) z Il y a une infinité de triplets solutions. Chaque fois que l'on fixe z il y a un triplet solution particulier. Conclusion : { ( 2 - (8 / 5 ) z , 1 + ( 3 / 5 ) z , z ) / z dans IR } ---------------------------------------------------------------------------------------------------