PROJET D' INTEGRATION BTS1 6 septembre 2010
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THEME : LE SON
Vous disposez de 1 heure 30 mn pour faire ce travail.
Il comporte trois parties indépendantes.
Vous pouvez si vous disposez de moyens informatiques utiliser
un ordinateur et un traitement de texte.
Vous pouvez aussi consulter le site :
http:/www.mathemaths.com
• PARTIE I. NIVEAU SONORE D’UN SON
Le décibel est la plus petite variation d’intensité sonore qui est perceptible
par l’oreille humaine.
La fonction f ci-dessous mesure le niveau sonore d’un son d’intensité x.
Le plan est muni d’un repère orthogonal.
Soit ( C ) la courbe de la fonction numérique f sur l’ensemble des réels strictement positifs.
On admet que la fonction f est :
f : x → ( ln( x ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) )
où x0 est un paramètre.
1. Résoudre dans l’ensemble des réels strictement positifs l’équation :
f ( x ) = 60
(On donnera la solution en fonction de x0 et d’une puissance de 10. )
Rappel : Soit a > 0 et b > 0 n un entier.
ln(ab) = ln( a ) + ln( b )
ln( a / b ) = ln( a ) – ln( b )
ln( an ) = n ln( a )
2. Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f.
Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans l’ensemble
des réels strictement positifs.
Rappel : ln' , sur l’ensemble des réels strictement positifs, est
la fonction inverse.
3. En déduire le sens de variation de la fonction f .
( On pourra donner son tableau de variation. )
4. Faire un tableau pour indiquer les valeurs de f( x ) quand
x vaut :
10 x0 ; 104 x0 ; 107 x0 ; 108 x0 ; 109 x0 ; 1011 x0 ;
; 1012 x0 ; 1017 x0 .
Pour x = 10- 2 représenter la courbe de f .
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5. Soit a > 0 et b > 0 .
Montrer que f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )
( Ce qui se note aussi : f( b ) – f( a ) = 10 log( b / a )
log étant le logarithme décimal.)
6. Soit a > 0 et b > 0 tels que b = 2 a.
Que vaut : f( b ) – f( a ) ?
Cette différence dépend - t- elle, dans ce cas, des valeurs de a et b ?
7. Soit a > 0 et b > 0 tels que b = 10 a.
A-t-on : f( b ) - f( a ) = 10 ?
A-t-on : f( b ) = 10 f( a ) ?
( Cette constatation a permis de dire que si l’intensité d’un son
est multipliée par 10 le niveau sonore ne l’est pas.)
• PARTIE 2 SON ET SUITE NUMERIQUE ( Extrait d’ex. bac )
L’unité d’intensité du son est le décibel ( symbole dB ).
Une source sonore émet un son de 100 dB.
Soit un avec n entier naturel , l’intensité du son mesurée
après la traversée de n plaques d’isolation phonique.
On admet que chaque plaque absorbe 10% de l’intensité du son
qui la frappe.
1. On sait que u0 = 100 .
Calculer u1 , u2 , u3 .
2. Trouver une relation entre un + 1 et un .
En déduire la nature de la suite ( u ) .
3. Exprimer un en fonction de n .
4. A l’aide de la calculatrice trouver le plus petit entier naturel n
tel que un soit inférieur à 1 décibel.
• PARTIE 3. STAT. ET RAP
Le tableau ci-dessous récapitule la durée, en minutes, d’émission de musique rap
d’une station de radio pendant 10 ans.
Année |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
Rang xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Durée en mn yi |
20 |
21,5 |
23,1 |
28 |
31,4 |
Année |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
Rang xi |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Durée en mn yi |
32,4 |
35 |
37,4 |
39,5 |
42 |
page 2
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1. Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de cette série
statistique à deux variables x et y.
( unités : 1 cm pour un an en abscisse
1 cm pour 2 minutes en ordonnée )
2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.
Placer le point moyen G sur le graphique.
3. Placer sur le graphique le point A( 0 ; 16 ).
4. Donner l’équation réduite de la droite ( AG ).
5. La droite ( AG ), notée d , vous paraît-elle constituer une bonne
droite d’ajustement du nuage ? ( Expliquer )
6. a. Avec cette droite d’ajustement d, estimer la durée des
d'émission de rap en 2011 .
b. Calculer l’année à partir de laquelle la durée d'émission de rap
dépassera 57 mn.
c. Retrouver graphiquement les résultats de la question 6a.b.
7. Trouver les points moyens G’ et G’’ des sous nuages
formés à partir des deux tableaux.
a. Donner les coordonnées des points G’ et G’’.
b. Trouver l'équation réduite de la droite de MAYER
( G’G’’ ).
Reprendre la question 6.a.
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Bon courage