PROJET D'INTEGRATION 6/9/10

                                    PROJET D' INTEGRATION    BTS1           6 septembre 2010 

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                                                     THEME : LE SON 

                      Vous disposez de 1 heure 30 mn pour faire ce travail.

                                Il comporte trois parties indépendantes. 

                      Vous pouvez si vous disposez de moyens informatiques utiliser

                               un ordinateur et un traitement de texte.

                     Vous pouvez aussi consulter le site :

                                                http:/www.mathemaths.com 

          •    PARTIE I.                         NIVEAU SONORE D’UN SON

                       Le décibel est la plus petite variation d’intensité sonore qui est perceptible

                       par l’oreille humaine.

                       La fonction f  ci-dessous mesure le niveau sonore d’un son d’intensité x.

         Le plan est muni d’un repère orthogonal.

         Soit ( C ) la courbe de la fonction numérique  f  sur l’ensemble des réels strictement positifs.

         On admet que la fonction   f est :

               f : x  →  ( ln( x ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

                            où   x0  est un paramètre.

   1. Résoudre  dans l’ensemble des réels strictement positifs l’équation :       

                      f ( x ) = 60

               (On donnera la solution en fonction de x et d’une puissance de 10. )

           Rappel :      Soit a > 0  et   b > 0    n un entier.

                               ln(ab) = ln( a ) + ln( b )

                               ln( a / b ) = ln( a ) – ln( b )

                               ln( an ) = n ln( a ) 

   2. Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f.

        Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans l’ensemble

        des réels strictement positifs.

                Rappel :    ln' , sur l’ensemble des réels strictement positifs, est

                                   la fonction inverse. 

   3. En déduire le sens de variation de la fonction f .

        ( On pourra donner son tableau de variation. )

   4. Faire un tableau pour indiquer les valeurs de  f( x ) quand

        x vaut :

           10 x0  ;  104  x0    ;   107  x0          ;   108  x0         ;  109  x0      ;   1011  x0       ;

          ;  1012  x0     ; 1017  x0       .

        Pour   x = 10- 2    représenter la courbe de f .

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    5. Soit a > 0  et  b > 0 .

        Montrer que   f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )

           (  Ce qui se note aussi :      f( b ) – f( a )  = 10 log( b / a )  

                                                      log étant le logarithme décimal.)

     6. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 2 a.

             Que vaut :      f( b ) – f( a ) ?

             Cette différence dépend - t- elle, dans ce cas, des valeurs de a  et  b ?

     7. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 10 a.

                         A-t-on  :      f( b ) -  f( a )  = 10 ?

                         A-t-on  :      f( b ) = 10 f( a )   ?

         ( Cette constatation a permis de dire que si l’intensité d’un son

            est multipliée par 10  le niveau sonore ne l’est pas.)

  •    PARTIE 2     SON  ET SUITE NUMERIQUE        ( Extrait d’ex. bac )        

                       L’unité d’intensité du son est le décibel ( symbole dB ).

                      Une source sonore émet un son de 100 dB.

             Soit un  avec n entier naturel , l’intensité du son mesurée

             après la traversée de n plaques d’isolation phonique.

             On admet que chaque plaque absorbe 10%  de l’intensité du son

             qui la frappe.

          1.      On sait que  u0   = 100 .

                    Calculer   u1 , u2  , u3 .

          2.      Trouver une relation entre  un + 1   et  un .

                    En déduire la nature de la suite ( u ) .

         3.      Exprimer un en fonction de n .

        4.      A l’aide de la calculatrice trouver le plus petit entier naturel n

               tel que un  soit inférieur à 1 décibel.

   •    PARTIE 3.             STAT. ET  RAP

        Le tableau ci-dessous récapitule la durée, en minutes, d’émission de musique rap

         d’une station de radio pendant 10 ans.

Année

2001

2002

2003

2004

2005

Rang  xi 

1

2

3

4

5

Durée en mn  yi 

20

21,5

23,1

28

31,4

 

Année

2006

2007

2008

2009

2010

Rang     xi

6

7

8

9

10

Durée en mn    yi

32,4

35

37,4

39,5

42

 

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    1.  Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de cette série

         statistique à deux variables x et y.                                                                                                           

             ( unités : 1 cm pour un an en abscisse

                            1 cm pour 2 minutes en ordonnée  )

     2.  Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.

          Placer le point moyen G sur le graphique.

     3.  Placer sur le graphique le point A( 0 ; 16 ).

     4.   Donner l’équation réduite de la droite ( AG ).

     5.   La droite ( AG ), notée d , vous paraît-elle constituer une bonne

           droite d’ajustement du nuage ? ( Expliquer )

     6.  a. Avec cette droite d’ajustement d, estimer la durée des

              d'émission de rap en 2011 .

           b. Calculer l’année à partir de laquelle la durée d'émission de rap

                dépassera  57 mn.

            c. Retrouver graphiquement les résultats de la question 6a.b.

       7.   Trouver les points moyens G’ et G’’ des sous nuages

              formés à partir des deux tableaux.

              a.  Donner les coordonnées des points G’ et G’’.

              b. Trouver l'équation réduite de la droite de MAYER

                   ( G’G’’ ).

                  Reprendre la question  6.a.

                                                       

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                                                          Bon courage