EXERCICE de bac ES Spécialité Pondichéry avril 2015
EXERCICE 2 (5 points)
Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux.
Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes,
soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.
• Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser
le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.
• Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser
le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.
• Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser
le lien vers A est de 0,2 mais il n’y a pas de lien direct avec B.
L’unité de temps est la minute, et à un instant t = 0, le nombre
de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.
On représente la distribution des internautes sur les trois sites
après t minutes par une matrice Nt; ainsi N0 = ( 100 0 0 ).
On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure
( de t = 0 à t = 60) ni nouveaux internautes visiteurs.
1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C
correspondant à la situation décrite.
2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe
( dans l’ordre A, B, C ).
3. On donne
/ 0, 42 0, 22 0, 36 \
M2 = | 0, 19 0,27 0, 54 |
\ 0, 28 0, 04 0, 68 /
et
/ 0, 3125 0, 125 0, 5625 \
M20 = | 0, 3125 0, 125 0, 5625 |
\ 0, 3125 0, 125 0, 5625 /
Calculer N2.
Interpréter le résultat obtenu.
4. Calculer N0 × M20 .
Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse.
5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.
Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.
À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.
a. Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 1 le site A soit infecté ?
b. Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2 les trois sites soient infectés ?
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