INFO 2 DV n° 1 1S1 30 Sept. 09
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n° 36 Page 27 Livre Didier
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) )
Soit la fonction f : x → ( 2 x - 1 ) / ( x + 1 ) définie sur IR - { - 1 }.
1. Montrer que f( x ) = 2 - 3 / ( x + 1 ) pour tout x dans IR - { - 1 }.
2. En déduire le tracé de la courbe de f .
Quel élément de symétrie possède-t-elle ?
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Réponse.
1. il suffit de le vérifier en faisant une réduction au même dénominateur.
Soit x dans IR - { - 1 }.
On a : 2 - 3 / ( x + 1 ) = ( 2 ( x + 1 ) - 3 ) / ( x + 1 )
c-à-d 2 - 3 / ( x + 1 ) = ( 2 x + 2 - 3 ) / ( x + 1 )
c-à-d 2 - 3 / ( x + 1 ) = ( 2 x - 1 ) / ( x + 1 )
Conclusion : 2 - 3 / ( x + 1 ) = f( x )
pour tout x dans IR - { - 1 }.
2. • Soit la fonction g : x → - 3 / x. Soit ( C ) sa courbe.
Pour tout x dans IR - { - 1 } on a :
f( x ) = 2 - 3 / ( x + 1 ) = g( x - ( - 1 ) ) + 2
Donc la courbe ( C ' ) de f est l'image de ( C ) par la translation de vecteur
- 1 vect( i ) + 2 vect( j ).
• Conséquence:
Le point O , origine du repère, qui est le centre de symétrie de ( C )
a pour image par la translation précédente , le point O ' ( - 1 ; 2 )
qui sera un centre de symétrie de la courbe ( C ' )
Conclusion : Le point O( - 1 ; 2 ) est un centre de symétrie de ( C ' )
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