INFO 1 DV n° 2 1S1 24/10/09

 INFO 1  DV   n° 2      1S1       24/10/09       

      EXERCICE n°109          Livre Didier   

                    [ AB ] est un segment de longueur 4 cm.

                Pour chaque point M du segment  [AB] , on construit la figure ci-dessous

                dans laquelle APM et BQM sont des triangles rectangles et isocèles .

                On considère que si le point M est en A , alors  le point P l'est aussi et  que

                si M est en B , alors le point Q l'est aussi.

                  Figure 1:

                                                                

                 Figure 2:    

                                                       

 

                      Une longueur L étant donnée ( L en cm ) , on cherche si l'on peut placer M

                   de telle sorte que PQ = L .

                   On note AM = x     (  0  ≤  x  ≤  4 ).

          1.a. Démontrer que le triangle PMQ est un triangle rectangle en M.

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                            Réponse:

              Chacun des triangles AMP et BMQ est un demi carré.

          Ainsi les angles géométriques en M dans chacun de ces

          triangles mesure 45°.

           On a :

                              

               Conclusion : Le triangle PMQ est rectangle en M.             

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  b. En déduire que :    PQ² = x² - 4 x + 8 .

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                          • D'après Pythagore dansle triangle rectangle PMQ on a :

                                 PM² +  QM²  = PQ²

                         D'après Pythagore dans chacun de triangles rectangles et isocèles

                         AMP et BMQ on a :

                          2 PM² = AM²  = x²                          Donc   PM² = ( 1/ 2 ) x²

                           2 QM² = BM²  = ( 4 - x ) ²              Donc     QM² = ( 1 / 2 )  ( 4 - x )² 

                             Donc    PM² +  QM²  =    ( 1/ 2 ) x² +   ( 1 / 2 )  ( 4 - x )² 

                             c-à-d   PM² +  QM²  =  ( 1/ 2 ) x² +   ( 1 / 2 ) ( x² - 8 x + 16 )

                             c-à-d   PM² +  QM²  =  ( 1/ 2 ) x² +   ( 1 / 2 )  x² - 4 x + 8

                             c-à-d   PM² +  QM²  =   x² - 4 x + 8

                                   D'où :           PQ² = x² - 4 x + 8

                      Conclusion : PQ² = x² - 4 x + 8       

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    2.a. Déterminer x si L =  2,2.

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                          On a :   PQ = 2,2

                     Considèrons:            x² - 4 x +8 = 2,2²

                            c-à-d                       x² - 4 x + 8 - 4,84 =0

                       c-à-d                     x²  - 4 x +3,16  = 0   

                   Résolvons cette équation.                     

                          Δ' = b' ² - ac   

                          c-à-d      Δ' = 4 - 3,16 = 0,84

                                 Δ > 0

                          Les racines sont:

                             ( - b' - √Δ' ) / a = 2 - √0,84         dans [ 0 ,4]

                                      ( - b' + √Δ' ) / a = 2 +√0,84      dans [ 0 ,4]

                                  Conclusion :     ≈ 1,08     ou x   ≈  2,91  

                       Dessiner  les figures correspondantes.

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                           La  figure pour  x   ≈  2,91   est :

                                                          

                                La  figure pour  x   ≈  1,08   est : 

                                                                

                        b. Peut-on trouver x si L =1,5 ? si L = 3  ? si L = 2  ?

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                      Considérons pour cela successivement les équations :

                             •   x² - 4 x +8 = 1,5²     avec    x dans [ 0 , 4 ]

                               Considérons :        x² - 4 x + 5,75 = 0     

                                  On a                      Δ' = b' ² - ac  

                                           c-à-d                          Δ' = 4 - 5,75 = - 1,75 

                                   c-à-d                      Δ' < 0

                               Conclusion :      Aucune solution  pour x. 

                                    •  x² - 4 x +8 = 3²     avec     x dans [ 0 , 4 ] 

                                 Considérons :        x² - 4 x - 1  = 0

                                           On a                       Δ' = b' ² - ac  

                                            c-à-d                            Δ' = 4 - ( - 1 ) = 5

                                           Donc                     Δ' > 0

                                          Les racines sont :

                                               ( - b' - √Δ' ) / a =  2  - √5    ≈ - 0,23       pas dans [ 0 ,4]

                                       ( - b' + √Δ' ) / a = 2  + √5     ≈ 4,23      pas dans [ 0 ,4]

                                              Les valeurs trouvées ne conviennent pas.

                                     Conclusion :      Aucune solution convenable pour x.                 

                                    •    x² - 4 x +8 = 2²      et   x dans [ 0 , 4 ] 

                                Considérons :      x² - 4 x + 4 = 0 

                                                 c-à-d          ( x - 2 )² = 0

                                                              c-à-d        x = 2

                                               Conclusion :  La seule solution pour x est 2 .   

                                   Figure pour x = 2 .    ( On a aussi   L = 2 )

                                                                          

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        3.a Dresser le tableau de variation de la fonction qui à x associe PQ²

             sur l'intervalle [ 0 ; 4 ].

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       Réponse:    Soit la fonction     f : x    x² - 4x + 8      sur [ 0 ; 4 ]

                       D'après le cours il peut être donné directement .

                             a > 0  

                       a = 1     b' = - 2       c = 8

                            Δ' = b' ² - ac  

              c-à-d  Δ' = 4 - 8 = - 4  

              On a :    - b' / a = - ( - 2 ) / 1 = 2     ( On peut utiliser aussi  - b / (  2 a )  )

           et    - Δ' /  a  = - ( - 4 ) /  1 = 4        ( On peut utiliser aussi  - Δ / ( 4 a ) )

                               Ainsi le minimum de f est 4 .  II est obtenu pour x = 2 .

x 0                     2                   4
f( x ) 8        ↓           4          ↑       8

                                                                              

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     b. En déduire un encadrement de PQ² puis de PQ .

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 Réponse:    On sait que PQ² = x²- 4 x + 8 avec x dans [0 ; 4 ].

                      On a convenu que f( x ) = x² - 4 x + 8.                        

                     D'après le tableau de variation de la fonction f on a :

                                      4 ≤ f( x ) ≤ 8    avec x dans [ 0 ; 4 ].

                   Mais            PQ² = f( x )

                   Donc           4 ≤ PQ² ≤ 8    

                 Comme la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs

                  on a:

                                       √4 ≤ √( PQ² ) ≤ √ 8

                  c-à-d             2 ≤  | PQ |  ≤ 2√2

                  Or  PQ un réel positif puisque c'est une distance.

                            D'où    2 ≤  PQ  ≤ 2√2       ( c-à-d    2 ≤  L  ≤ 2√2   )

                    Conclusion :      4 ≤ PQ² ≤ 8     et   2 ≤  PQ  ≤ 2√2 

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                        c. Montrer que si L n'est pas dans l'intervalle [ 2 ; 2√2 ] alors il n'existe pas

                       de point M tel que PQ = L.

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Réponse:  

                     D'après la  question précédente on a montré l'implication:

                     Il existe de x dans [0;4] , c-à-d de M dans  [AB]

                     tel que L = PQ  implique  2 ≤  L  ≤ 2√2  .

                    On en déduit:

                    ( C'est la "contraposée ")

                      Si on n'a pas  2 ≤  L  ≤ 2√2  alors il n'existe pas de point M de

                   [ AB] tel que L = PQ.

                       Conclusion:    Si L est dans IR- [2 ; 2√2] alors il  n'existe pas de point 

                                                     M de [AB] tel que L =PQ

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                       4. Soit I le point d'intersection des droites ( AP) et ( BQ ) .

                            Démontrer que :

                           a. Le point I ne dépend pas de de la position du point M.

                            b. IM = L .

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  Réponse:  

             a.  Le triangle AIB est rectangle est isocèle en I .

                        En effet :

              Ses deux angles intérieurs en A et B mesurent 45° chacun.

                 La position du point I ne dépend donc que de celle des points A et B.

              Le point I ne dépend donc pas de la position du point M sur le segment [ AB].

                       Conclusion:     I ne dépend pas du point M                               .

                b.  IM = L  c-à-d  IM = PQ .

                        En effet:                   

                    • Le quadrilatère PIQM est un  parallèlogramme car:

                      Les segments [PM]  et  [IB] qui sont orthogonaux au segment [ AI ]

                      sont parallèles. 

                      Le segments [QM]  et [IA] qui sont orthogonaux au segment [ BI ]

                      sont parallèles. 

                    • Le quadrilatère PIQM est un rectangle car

                      l'angle en M du parallèlogramme PIQM est droit.

                Ainsi le quadrilatère PIQM étant un rectangle, ses diagonales [IM] et [PQ]

                sont de même longueur.    IM = PQ = L

                 Conclusion :   IM = L  

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                    POUR LA SUITE DE L'EXERCICE LIRE L'INFO 2