INFO 1 DV n° 2 1S1 24/10/09
EXERCICE n°109 Livre Didier
[ AB ] est un segment de longueur 4 cm.
Pour chaque point M du segment [AB] , on construit la figure ci-dessous
dans laquelle APM et BQM sont des triangles rectangles et isocèles .
On considère que si le point M est en A , alors le point P l'est aussi et que
si M est en B , alors le point Q l'est aussi.
Figure 1:
Figure 2:
Une longueur L étant donnée ( L en cm ) , on cherche si l'on peut placer M
de telle sorte que PQ = L .
On note AM = x ( 0 ≤ x ≤ 4 ).
1.a. Démontrer que le triangle PMQ est un triangle rectangle en M.
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Réponse:
Chacun des triangles AMP et BMQ est un demi carré.
Ainsi les angles géométriques en M dans chacun de ces
triangles mesure 45°.
On a :
Conclusion : Le triangle PMQ est rectangle en M.
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b. En déduire que : PQ² = x² - 4 x + 8 .
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• D'après Pythagore dansle triangle rectangle PMQ on a :
PM² + QM² = PQ²
• D'après Pythagore dans chacun de triangles rectangles et isocèles
AMP et BMQ on a :
2 PM² = AM² = x² Donc PM² = ( 1/ 2 ) x²
2 QM² = BM² = ( 4 - x ) ² Donc QM² = ( 1 / 2 ) ( 4 - x )²
Donc PM² + QM² = ( 1/ 2 ) x² + ( 1 / 2 ) ( 4 - x )²
c-à-d PM² + QM² = ( 1/ 2 ) x² + ( 1 / 2 ) ( x² - 8 x + 16 )
c-à-d PM² + QM² = ( 1/ 2 ) x² + ( 1 / 2 ) x² - 4 x + 8
c-à-d PM² + QM² = x² - 4 x + 8
D'où : PQ² = x² - 4 x + 8
Conclusion : PQ² = x² - 4 x + 8
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2.a. Déterminer x si L = 2,2.
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On a : PQ = 2,2
Considèrons: x² - 4 x +8 = 2,2²
c-à-d x² - 4 x + 8 - 4,84 =0
c-à-d x² - 4 x +3,16 = 0
Résolvons cette équation.
Δ' = b' ² - ac
c-à-d Δ' = 4 - 3,16 = 0,84
Δ > 0
Les racines sont:
( - b' - √Δ' ) / a = 2 - √0,84 dans [ 0 ,4]
( - b' + √Δ' ) / a = 2 +√0,84 dans [ 0 ,4]
Conclusion : x ≈ 1,08 ou x ≈ 2,91
Dessiner les figures correspondantes.
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La figure pour x ≈ 2,91 est :
La figure pour x ≈ 1,08 est :
b. Peut-on trouver x si L =1,5 ? si L = 3 ? si L = 2 ?
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Considérons pour cela successivement les équations :
• x² - 4 x +8 = 1,5² avec x dans [ 0 , 4 ]
Considérons : x² - 4 x + 5,75 = 0
On a Δ' = b' ² - ac
c-à-d Δ' = 4 - 5,75 = - 1,75
c-à-d Δ' < 0
Conclusion : Aucune solution pour x.
• x² - 4 x +8 = 3² avec x dans [ 0 , 4 ]
Considérons : x² - 4 x - 1 = 0
On a Δ' = b' ² - ac
c-à-d Δ' = 4 - ( - 1 ) = 5
Donc Δ' > 0
Les racines sont :
( - b' - √Δ' ) / a = 2 - √5 ≈ - 0,23 pas dans [ 0 ,4]
( - b' + √Δ' ) / a = 2 + √5 ≈ 4,23 pas dans [ 0 ,4]
Les valeurs trouvées ne conviennent pas.
Conclusion : Aucune solution convenable pour x.
• x² - 4 x +8 = 2² et x dans [ 0 , 4 ]
Considérons : x² - 4 x + 4 = 0
c-à-d ( x - 2 )² = 0
c-à-d x = 2
Conclusion : La seule solution pour x est 2 .
Figure pour x = 2 . ( On a aussi L = 2 )
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3.a Dresser le tableau de variation de la fonction qui à x associe PQ²
sur l'intervalle [ 0 ; 4 ].
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Réponse: Soit la fonction f : x x² - 4x + 8 sur [ 0 ; 4 ]
D'après le cours il peut être donné directement .
a > 0
a = 1 b' = - 2 c = 8
Δ' = b' ² - ac
c-à-d Δ' = 4 - 8 = - 4
On a : - b' / a = - ( - 2 ) / 1 = 2 ( On peut utiliser aussi - b / ( 2 a ) )
et - Δ' / a = - ( - 4 ) / 1 = 4 ( On peut utiliser aussi - Δ / ( 4 a ) )
Ainsi le minimum de f est 4 . II est obtenu pour x = 2 .
x | 0 2 4 |
f( x ) | 8 ↓ 4 ↑ 8 |
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b. En déduire un encadrement de PQ² puis de PQ .
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Réponse: On sait que PQ² = x²- 4 x + 8 avec x dans [0 ; 4 ].
On a convenu que f( x ) = x² - 4 x + 8.
D'après le tableau de variation de la fonction f on a :
4 ≤ f( x ) ≤ 8 avec x dans [ 0 ; 4 ].
Mais PQ² = f( x )
Donc 4 ≤ PQ² ≤ 8
Comme la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs
on a:
√4 ≤ √( PQ² ) ≤ √ 8
c-à-d 2 ≤ | PQ | ≤ 2√2
Or PQ un réel positif puisque c'est une distance.
D'où 2 ≤ PQ ≤ 2√2 ( c-à-d 2 ≤ L ≤ 2√2 )
Conclusion : 4 ≤ PQ² ≤ 8 et 2 ≤ PQ ≤ 2√2
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c. Montrer que si L n'est pas dans l'intervalle [ 2 ; 2√2 ] alors il n'existe pas
de point M tel que PQ = L.
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Réponse:
D'après la question précédente on a montré l'implication:
Il existe de x dans [0;4] , c-à-d de M dans [AB]
tel que L = PQ implique 2 ≤ L ≤ 2√2 .
On en déduit:
( C'est la "contraposée ")
Si on n'a pas 2 ≤ L ≤ 2√2 alors il n'existe pas de point M de
[ AB] tel que L = PQ.
Conclusion: Si L est dans IR- [2 ; 2√2] alors il n'existe pas de point
M de [AB] tel que L =PQ
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4. Soit I le point d'intersection des droites ( AP) et ( BQ ) .
Démontrer que :
a. Le point I ne dépend pas de de la position du point M.
b. IM = L .
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Réponse:
a. Le triangle AIB est rectangle est isocèle en I .
En effet :
Ses deux angles intérieurs en A et B mesurent 45° chacun.
La position du point I ne dépend donc que de celle des points A et B.
Le point I ne dépend donc pas de la position du point M sur le segment [ AB].
Conclusion: I ne dépend pas du point M .
b. IM = L c-à-d IM = PQ .
En effet:
• Le quadrilatère PIQM est un parallèlogramme car:
Les segments [PM] et [IB] qui sont orthogonaux au segment [ AI ]
sont parallèles.
Le segments [QM] et [IA] qui sont orthogonaux au segment [ BI ]
sont parallèles.
• Le quadrilatère PIQM est un rectangle car
l'angle en M du parallèlogramme PIQM est droit.
Ainsi le quadrilatère PIQM étant un rectangle, ses diagonales [IM] et [PQ]
sont de même longueur. IM = PQ = L
Conclusion : IM = L
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