EX4 PROD SCAL 1S1 AVRIL 09

 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE       1S     AVRIL 2009

       EXERCICE 4    IMPORTANT

          Le plan est muni d'un repère orthonormal.

          Soit la droite D: a x + b y + c = 0 .

          Soit le point A( α ; β ).

           Nous voulons prouver que la distance de A à D est

           le quotient suivant : | a α + b β + c |   /   √( a² + b² )

          1. a. Que peut-on dire du vecteur vect( n )  de coordonnées ( a ; b )

                   pour la droite D ?

                   Donner sa norme || vect( n ) ||.

             c. Soit H( p ; q ) le projeté orthogonal du point A sur la droite D.

                 Faire une figure.

                 Quelle relation vérifient p et q ?

             2. Pourquoi existe-t-il un réel λ tel que:

                  vect( AH ) = λ vect( n )   ?     ( 1 )

                  Exprimer la norme || vect( A H ) ||  en fonction de la norme || vect( n ) ||.

             3. Exprimer  p et q en fonction λ , a , b   à l'aide de ( 1 ).

             4. Sachant que le point H est sur la droite D: a x + b y + c = 0  trouver λ en fonction de a , b .

             5. En déduire que AH = | a α + b β + c |   /   √( a² + b² )

            Application

                Soit le point B( 1 ; 3 ).

                Soit la droite D :  3 x + y - 1 = 0 .

                Trouver la distance de B à la droite D.

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 Réponse:

              1. a. Le vecteur vect(n ) de coordonnées ( a , b ) est un vecteur normal à D.

                        || vect( n ) || =  √( a² + b² )

                  b . Figure .

                       p et q vérifient l'équation de D.

                       Ainsi :        a p + b q + c = 0

                 2. Les vecteur  vect( AH ) et vect( n ) sont colinéaires et vect( n ) n'est

                      pas le vecteur nul.

                     Donc  il existe un réel λ  tel que vect( AH ) = λ vect( n ).

                     D'où   || vect( AH ) || = |  λ |  × || vect( n )||

                    c-à-d     || vect( AH ) || = |  λ |  √( a² + b² )   

                  3. Analytiquement cette égalité vectorielle ( 1 ) s'écrit:

                          p - α = λ  a

                          q -  β = λ  b

                    Donc   

                         p = α + λ  a

                        q =   β +  λ  b

             4 . En reportant dans  l'égalité a p + b q + c = 0

                   on a: 

                              a (  α + λ  a ) + b (   β +  λ  b ) + c = 0

                     c-à-d       a  α + λ  a²   + b   β +  λ  b²  + c = 0

                     c-à- d     λ (  a²  + b² ) + a  α + b   β  + c = 0

                     c-à-d     λ (  a²  + b² ) = - (  a  α + b   β  + c ) 

                     c-à-d      λ  = - (  a  α + b   β  + c ) / (  a²  +b² )    

                    c-à-d           |λ |  = | a  α + b   β  + c )| / (  a²  +b² )  

                 5.   En reportant dans l'égalité :

                             || vect( AH ) || =    |  λ |  √( a² + b² )   

                            il vient :

                               AH = (   | a α + b β + c |   /   ( a² + b² )  ) √( a² + b² )

                       c-à-d      AH =  | a α + b β + c |   /  √ ( a² + b² ) 

                                  On a bien la formule recherchée.

                  APPLICATION .

                              

                             On a :

                               D : 3 x + y - 1 = 0   et le point B( 1 ; 3 )

                      Donc

                       a = 3     b = 1   c = - 1           α = 1         β = 3

                       Ainsi:   d( B ; D ) = |  3 ( 1 ) + 3 - 1  |  /  √( 3² + 1² )

                            c-à-d

                       Conclusion:    d( B ; D ) =   5 / √10        

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