EXERCICE SUR LES SUITES TS septembre 2012
EXERCICE 6
Soit la suite numérique ( un ) définie par :
un = ( 2 n + 1 ) / ( n - 1 ) sur [[ 4 , + ∞ [
Montrer que cette suite est bornée par 2 et 3 sur [[ 4 , + ∞ [.
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REPONSE :
Soit n dans [[ 4 , + ∞ [.
On a: un = ( 2 n + 1 ) / ( n - 1 )
c-à-d un = ( 2 n - 2 + 2 + 1 ) / ( n - 1 )
c-à-d un = ( 2 ( n - 1 ) + 3 ) / ( n - 1 )
c-à-d un = 2 + 3 / ( n - 1 )
• Comme n ≥ 4 on a n - 1 ≥ 3
Donc 1 ≥ 3 / ( n - 1 )
D'où 2 + 3 /( n - 1 ) ≤ 3
c-à-d u n ≤ 3
• Comme n ≥ 4 on a 3 /( n - 1 ) ≥ 0
Donc 2 + 3 /( n - 1 ) ≥ 2
c-à-d un ≥ 2
Conclusion : Pour tout n danx [[ 4 , + ∞[ on a : 2 ≤ un ≤ 3
La suite est bien bornée sur [[ 4 , + ∞[ .
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