INFO EX 5. LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES S 5 Janvier 2009
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EX.5 Soit la fonction f: x → ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 )
1. Trouver la limite de f en + ∞.
2. La courbe ( C ) de la fonction f admet-elle une asymptote oblique
en + ∞.
3. La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale?
-------------------------------------------------------------------------
REP 1. Trouvons la limite de f en + ∞.
f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 1 }.
+ ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f . On peut faire la recherche. Soit x > 1. Le quotient des termes de plus haut degré est ( 2 x² ) / x. Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est 2 x. lim 2 x = + ∞ x → + ∞ Donc lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) = + ∞ x → + ∞ Conclusion : lim f ( x ) = + ∞ x → + ∞ 2. Déterminons l'asymptote oblique. Par division on a : Pour tout x dans IR - { 1 } ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) = 2 x + 5 + 9 / ( x - 1 )
- ( 5 x - 5 ) 9
2 x² + 3 x + 4
| x - 1
- ( 2 x² - 2 x)
|2 x+ 5
5 x + 4
|
Ainsi : f( x ) - ( 2 x + 5 ) = 9 / ( x - 1 )
Or lim 9 / ( x - 1 ) = 0
x → + ∞
Donc lim ( f( x ) - ( 2 x + 5 ) ) = 0
x → + ∞ Conclusion : La droite d'équation y = 2 x + 5 est une asymptote à la courbe de f en +∞. 3. Regardons si la courbe de f admet une asymptote verticale. On a : • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) = 9 x → 1 • lim ( x- 1 ) = 0+ x → 1+
• lim ( x- 1 ) = 0-
x → 1- Ainsi : • • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) 1 = 9 / 0+ = +∞ x → 1+ Donc lim f (x ) = +∞ x → 1+ • • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) 1 = 9 / 0- = - ∞
x → 1- lim f (x ) = - ∞ x → 1- Conclusion : La droite D : x = 1 est une asymptote verticale pour la courbe de f. ----------------------------------------------------------------------------------------------