INFO 1TEST 1S1 27/03/10

            INFO TEST    DERIVATION-LIMITES           1S1              27/03/10      

             NOM:   ..........          PRENOM:   ......           DATE:  27 / 03 / 2010       CLASSE: 1S 1

                 Soit  la fonction rationnelle f : x → ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) ) définie sur IR.

                 On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal  ( O ; vect ( i ) , vect ( j ) ).

                    Partie A.  Etude de f.  

                1. Donner les ensembles  de définition  et de dérivabilité de f.

                    • 3( x² + 1 ) ≠ 0  pour tout réel x. 

                      Ainsi:  

                     Conclusion :    Df = IR    

                     •  On peut se contenter de dire que la fonction f , comme fonction rationnelle définie sur IR,

                        est aussi dérivable sur son domaine de définition IR. Ainsi Dd = IR .

                      • Sinon on dit:

                          Soit les fonctions    u: x →   2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3    et    v : x → 3 ( x2 + 1 ) .

                            f = u / v

                              u et v sont définies et dérivables sur IR. v est non nulle sur IR.

                      Donc u / v   ,  c-à-d f , est dérivable sur IR.

                    Conclusion :    Dd = IR    

                2. Montrer que la courbe ( C ) admet le point  Ω( 0 ; - 1 ) comme centre de symétrie.

                   Procédons à un changement de repère par changement d'origine.

                   Soit (  Ω( 0 ; - 1 ) ; vect( i ) , vect( j ) ) le nouveau repère.

                   Posons:                x = 0 + X

                                              y = - 1 + Y

                  Reportons dans l'ancienne équation y =  ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) ) de ( C ) avec x dans IR.

                  Il vient :        - 1 + Y =  ( 2 X3 - 3 X2 + 11 X - 3 ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )  avec X dans IR.

                  c-à-d

                            Y = 1 +  ( 2 X3 - 3 X2 + 11 X - 3 ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )  avec X dans IR.

                  Réduisons au même dénominateur.

                               Y = (  3 ( X2 + 1 ) +   2 X3 - 3 X2 + 11 X - 3  ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )    avec X dans IR.

                   c-à-d     Y = (    3 X2    +  3    +   2 X3 -    3 X2     + 11 X -   3    ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )     avec X dans IR.

                   c-à-d     Y = (   2 X3  + 11 X ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )     avec X dans IR.

                   Soit  la fonction g : x → (   2 X3  + 11 X ) / ( 3 ( X2 + 1 ) )  

                   Cette fonction g de courbe aussi ( C ) est impaire.

                    En effet:

                       • Dg  = IR    centré en 0.

                      • Soit X dans IR quelconque.

                 On a :

  g( - X ) =  (   2 ( - X )3  + 11 ( - X )  ) / ( 3 ( ( - X )2 + 1 ) )  = -  (   2 X3  + 11 X ) / ( 3 ( X2 + 1 ) ) = - g ( X )  

            c-à-d  g( - X ) = - g( X )

                   Conclusion :   La nouvelle origine  Ω( 0 ; - 1 ) est un centre de symétrie de ( C ).

                3. Trouver f ' ( x ) . 

                    A l'aide de la première question:      f ' = ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                    On a ici:              u ' : x →   6 x2 - 6 x + 11           et    v ' : x  →  6 x 

                   Ainsi: 

 f ' ( x ) = [  ( 3 ( x2 + 1 ) ) (  6 x2 - 6 x + 11 ) -  ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) 6 x  ] /  ( 3 ( x2 + 1 ) )²

                    c-à-d    en factorisant 3

    f ' ( x ) = 3 [  ( x2 + 1 )  (  6 x2 - 6 x + 11 ) -  ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) 2 x  ] /  ( 3 ( x2 + 1 ) )²

                     c-à-d 

 f ' ( x ) = 3 [  ( 6 x4 - 6 x3 + 11 x2   +  6 x2 - 6 x + 11 ) -  ( 4 x4 - 6 x3 + 22 x2 - 6 x )  ] /  ( 3 ( x2 + 1 ) )²

c-à-d

f '( x ) = 3 [( 6 x4 - 6 x3+ 11 x2 +  6 x2 -  6 x + 11 ) -  4 x4 + 6 x3 - 22 x2 +  6 x ] / ( 3 ( x2 + 1 ) )²

c-à-d

    Conclusion :    f ' ( x ) = 3 (  2  x4  - 5 x2  + 11 ) /  ( 3 ( x2 + 1 ) )²    pour tout x dans IR.

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                4. Etablir que 2 X2 - 5 X + 11 > 0 pour tout réel positif X .

                       On a:          Δ = b² - 4 ac

                         c-àd      Δ = 25 - 88 = - 63

                        Donc     Δ < 0

                      2 X2 - 5 X + 11  ne annule jamais et est toujours du signe de a = 2.

                 Conclusion :   2 X2 - 5 X + 11  > 0    pour tout réel X. 

                    En déduire que f '( x ) > 0 pour tout réel positif x.

                      Comme  ( 3 ( x2 + 1 ) )² > 0   pour tout réel x  on a  f '( x ) qui est

                     du signe de  2 x4 - 5 x2 + 11   pour tout x dans IR.

                    Mais     2 x4 - 5 x2 + 11    =   2 ( x2 )2- 5 x2 + 11  

                   Posons   X = x2   alors     2 x4 - 5 x2 + 11    =  2 X2 - 5 X + 11 

                     D'après ce que l'on a vu   2 X2 - 5 X + 11  > 0   pour tout X dans IR+ .

                    Donc      2 x4 - 5 x2 + 11  > 0 pour tout réel x.

                   Ainsi  :

        Conclusion : f '( x ) > 0  pour tout réel x  donc pour tout réel positif x.

                5. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 0 , +∞ [ .    

x 0                                                             +∞
f ' ( x )                                    +
f( x )                                      ↑

                6. En déduire le tableau de variationde f sur IR

                     Comme la courbe ( C ) de f admet le point Ω( 0 ; -  1 ) situé sur l'axe des

                     ordonnées comme centre de symétrie on peut compléter le tableau de variation. 

x     -∞                                                         +∞
f ' ( x )                                      +
f( x )                                      ↑

                7. Résoudre l'équation f( x ) = ( 2 / 3 ) x - 1  dans IR .

                      Soit x dans IR.

                         f( x ) = ( 2 / 3 ) x - 1    s'écrit :

                         ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) )  = ( 2 / 3 ) x - 1 

                        c-à-d  en multipliant par 3 ( x2 + 1 ) chaque membre :

                         2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 = 3 ( x2 + 1 )  ( ( 2 / 3 ) x - 1  )

                      c-à-d    2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 = 3 [ ( 2 / 3 ) x3 -  x2   + ( 2 / 3 ) x - 1 ]

                      c-à-d    2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 =   2  x3  - 3  x2    + 2 x  - 3

                     c-à-d    11 x = 2 x

                      c-à-d    9 x = 0    c-à-d    x = 0

   Conclusion :    SIR = { 0 }

                8. Voir ci- dessous la courbe ( C ) de la fonction f  et la droite D : y = ( 2 / 3 ) x - 1

                    pour la fenêtre proposée.

                                  

                   Conjecturer le comportement de f( x ) quand x prend des valeurs très grandes.

                   Conclusion :   On peut conjecturer que f( x ) tend vers + ∞  quand x tend vers  + ∞.   

                   De plus la droite d'équation  y = ( 2 / 3 ) x - 1  est une asymptote à ( C ) en  + ∞  .      

     Parties B . Comportement asymptotique de f.

                    Soit la fonction ε: x →  f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 )    définie dans IR.

                  1. Montrer que pour tout réel x ,  ε ( x ) = ( 3 x ) / ( x² + 1 ).

                    Soit x dans IR.

    On a :          f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) =  ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) )  - (  ( 2 / 3 ) x - 1 ) 

 c-à-d            f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) =  [ ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) - 3 ( x2 + 1 ) (  ( 2 / 3 ) x - 1 ) ] / ( 3 ( x2 + 1 ) )

  c-à-d         f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = [ ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 )  -   2  x3  + 3  x2    - 2 x  +3 ) ] / ( 3 ( x2 + 1 ) )

                  en réutilisant des calculs déjà faits.

 c-à-d      f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = 9 x /( 3 ( x2 + 1 ) ) = 3 x / ( x2 + 1 )

                      Conclusion :    pour tout réel x ,     

                                                 ε ( x ) = ( 3 x ) / ( x² + 1 ).       

                  2. En déduire le signe de   ε ( x ) sur IR . 

                     Il est clair que  ε ( x ) est du signe de x .

          Conclusion :      ε ( x ) > 0 si x > 0   

                                   ε ( x ) < 0 si x < 0 

                                   ε ( x ) = 0 si x = 0

                  3.  En déduire la position relative de la courbe ( C )par rapport à la droite D.

                        On déduit de la question précédente:

                          Conclusion : Comme    f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) > 0 si x > 0   

                                                         et  f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) < 0 si x < 0 

                                                         et  f( x )- ( ( 2 / 3 ) x - 1 ) = 0 ssi x = 0

                             on peut dire:    Sur ] -  ∞, 0 [   ( C ) en dessous de D

                                                     Sur ] 0 , +  ∞ [   ( C ) au  dessus de D

                      4. Montrer que , pour tout réel x strictement positif on a :  0 ≤   ε ( x )  ≤ 3 / x .

                       Soit x > 0.

                       • On a :       0 ≤ ( 3 x ) / ( x² + 1 )     Quotient de deux réels strictement positifs

                       • On a :      ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤ ( 3 x ) / x²   

                           En effet:   0 <  x²   ≤  x²  + 1  

                          Donc  pour les inverses:   1 / ( x² + 1 ) ≤ 1 / x²   

                          Comme 3 x > 0  il vient en multipliant :   ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤ ( 3 x ) / x²   

                         Donc    ( 3 x ) / ( x² + 1 ) ≤  3  / x

                  Conclusion :   On a bien     0 ≤   ε ( x )  ≤ 3  / x       pour tout x > 0.    

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