INFO EX 4 DS 5 1S 27 JANV 10

  INFO EX 4              DS n° 5           1S            27 janvier 2010

        EXERCICE 4                     8 POINTS       

          Le plan est muni d'un repère orthonormal  (  O ; vect(i) , vect( j ) ). 

                        ( Unité graphique : 1 cm) 

                 Soit les points A ( -3 ; 1 ) et b( 1 ; 5 )

                 Soit I le milieu de [AB]

          1.a figure.

              b. Coordonnées de G.

                         (  - 3 + 1 ) / 2  =  - 1

                     ( 1 + 5 ) / 2 = 3 

              Conclusion: On a le  point G( - 1 ; 3 )


            2. Placer le point G barycentre des points pondérés

                 (A , 1) et ( B , 2 ).

                   On utilise l'égalité  :  vect( AG ) = (2 / ( 1 + 2)  ) vect ( AB )

                        c-à-d      vect( AG ) = (2 /3 ) vect ( AB )

                  Placer le point G' barycentre des points pondérés

               ( A , 1) et ( B , - 2 ).

                        On utilise l'égalité  :  vect (AG' ) = ( - 2 / ( 1 - 2 )  ) vect ( AB )

                     c-à-d      vect (AG' )  = 2 vect( AB )

            3. Déterminer et construire l'ensemble ( C ) des points M du plan

               tels que:        .   ( 1 )

                            ( On réduira d'abord les deux vecteurs )

                         On a:     ( Prop . fond. )

                             vect ( MA ) + 2 vect( MB ) =   3 vect(MG )

                              vect ( MA ) - 2 vect( MB ) =   - vect(MG' )

                     Donc   ( 1 ) 

                      se traduit par   3 vect(MG ) .( - vect( MG' )  )= 0

                        c-à-d      vect(MG ) .vect( MG' ) = 0

                Conclusion: L'ensemble ( C )  est le cercle de diamètre [ G G' ].

            4. Trouver par la méthode de votre choix une équation du cercle

                de diamètre [AB].

                     On a :    ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = ( AB / 2 )²

                    or  AB² = 32

              Donc  

                        ( AB / 2 )²  = AB² / 4 = 32 / 4 = 8

                       Conclusion :( x + 1 )² + ( y - 3 )² = 8

            5. Trouver une équation de la droite D passant par le point I et

                 de vecteur normal  vect( AB ).

                     Les coordonnées du vecteur  vect( AB )   sont ( 4 ; 4 )

                    Donc  on a la droite D d'équation  de la forme :

                      4 x + 4 y + c = 0

                    Or D passe par le point I(  -1 ; 3 )

                    D'où   4 ×( - 1 ) + 4 ×( 3 ) + c = 0

                          c-à-d   8 + c = 0

                          c-à- d   c = - 8

                  Une équation de D est donc 4 x + 4 y - 8 = 0

                     c-à-d      x + y - 2 = 0          

                  Conclusion :         On a    D: y = - x + 2    

            6. Déterminer et construire l'ensemble W des points M du plan tels que :

 

                 

                 On dispose de l'égalité :

                                

                On a :    AB = √ ( 4² + 4² ) =  √ ( 4² × 2 )   = 4√2

                               AB² = 32

                              se traduit par   MI² - AB² / 4  - 4

                                                                c-à-d     MI² = AB² / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² =  32 / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² = 8 - 4 = 4

                                                                  c-à-d MI = 2

 Conclusion:  L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 2 .

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                       figure.