Leçon n° 1. Nombres complexes

Leçon 1 . Nombres Complexes

 PREMIERE LECON :            NOMBRES COMPLEXES                   Juin 2009

     Voir avant l'introduction et faire le premier travail.

        EXISTENCE ET CONSTRUCTION DE C.

        On admet  qu'il existe un nouvel ensemble , noté C , contenant tous les réels,

        muni du nombre imaginaire i , vérifiant  i² =  - 1, dont les éléments sont de la forme a + i b

         où a et b sont des réels, qui dispose d'une addition et d'une multiplication  × 

        possédant  les même propriétés que + et × dans IR, définies par:

        ( a + i b  )    ( a' + i b' )  = a + a'  + i ( b + b' )

         ( a + i b  )   ×   ( a' + i b' )  = ( a a' - b b' ) + i ( a b' + b a' )

         pour tout   a + i b dans C  et our tout a' + i b'  dans C. 

         Les éléments de C sont les nombres complexes.

         Remarque:  Toutes les règles usuelles de + et × dans IR sont valables dans C

                             pour       et  ×     .

          Exemple:   On a déjà rencontré le nombre complexe

                               j = - 1 / 2 + i  √( 3 ) / 2

           De même on a :     1 + i  ,   2 - 3 i     par exemple.

          PARTIE REELLE , PARTIE IMAGINAIRE.

               Soit le nombre complexe z = a + i b.

                a est la partie réelle de z.

                b est la partie imaginaire de z.

          REPRESENTATION D'UN NOMBRE COMPLEXE.

         Soit ( O; vect( u ) , vect( v ) ) un repère orthnormal du plan.

         Tout nombre complexe z = a = i b  avec a et b dans IR est représenté par le point

          M( a , b ) du plan .Ce point est " l'image de z = a + i b  ".

         Réciproquement tout point M( a, b ) est dit d'affixe z = a = i b .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          •EXEMPLE.

             Soit les nombres complexes  zA = 3 - i  ,  zB = 1 + 2 i   ,  zC =  - 2 - 2 i   .

            Placer leurs images A , B , C .

              Réponse:  On place les points   A( 3 ; - 1 )  ,  B ( 1 ; 2 ) et C ( - 2 ; - 2 ) .