PREMIERE LECON : NOMBRES COMPLEXES Juin 2009
Voir avant l'introduction et faire le premier travail.
•EXISTENCE ET CONSTRUCTION DE C.
On admet qu'il existe un nouvel ensemble , noté C , contenant tous les réels,
muni du nombre imaginaire i , vérifiant i² = - 1, dont les éléments sont de la forme a + i b
où a et b sont des réels, qui dispose d'une addition + et d'une multiplication ×
possédant les même propriétés que + et × dans IR, définies par:
( a + i b ) + ( a' + i b' ) = a + a' + i ( b + b' )
( a + i b ) × ( a' + i b' ) = ( a a' - b b' ) + i ( a b' + b a' )
pour tout a + i b dans C et our tout a' + i b' dans C.
Les éléments de C sont les nombres complexes.
• Remarque: Toutes les règles usuelles de + et × dans IR sont valables dans C
pour + et × .
•Exemple: On a déjà rencontré le nombre complexe
j = - 1 / 2 + i √( 3 ) / 2
De même on a : 1 + i , 2 - 3 i par exemple.
• PARTIE REELLE , PARTIE IMAGINAIRE.
Soit le nombre complexe z = a + i b.
a est la partie réelle de z.
b est la partie imaginaire de z.
• REPRESENTATION D'UN NOMBRE COMPLEXE.
Soit ( O; vect( u ) , vect( v ) ) un repère orthnormal du plan.
Tout nombre complexe z = a = i b avec a et b dans IR est représenté par le point
M( a , b ) du plan .Ce point est " l'image de z = a + i b ".
Réciproquement tout point M( a, b ) est dit d'affixe z = a = i b .
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•EXEMPLE.
Soit les nombres complexes zA = 3 - i , zB = 1 + 2 i , zC = - 2 - 2 i .
Placer leurs images A , B , C .
Réponse: On place les points A( 3 ; - 1 ) , B ( 1 ; 2 ) et C ( - 2 ; - 2 ) .