INFO SUR LA LISTE D' EXERCICES SUITES MAI 09 1S
EX 1.
Soit un réel positif α.
Comment peut-on montrer que ( 1 + α )n >= 1 + n α
pour tout entier naturel n ? ( Inégalité de Bernoulli )
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Réponse: On peut raisonner par récurrence. L'inégalité est définie dans IN.
( Il y a l'amorce puis le caractère héréditaire )
• Pour n = 0. ( AMORCE )
On a :
1 + n α = 1 + 0 α = 1
et ( 1 + α )n = ( 1 + + α )0 = 1
Donc ( 1 + α )n >= 1 + n α
L'inégalité est vraie pour n = 0.
• Soit n dans IN quelconque. ( CARACTERE HEREDITAIRE )
Montrons que : si ( 1 + α )n >= 1 + n α alors ( 1 + α )n + 1 >= 1 + ( n + 1 ) α .
On a : ( 1 + α )n >= 1 + n α
Comme 1 + α >= 0 on peut multiplier chaque membre par 1 + α sans changer
le sens de l'inégalité.
Il vient : (1 + α ) ( 1 + α )n >= (1 + α ) ( 1 + n α )
c-à-d ( 1 + α )n + 1 >= 1 + α + ( 1 + α ) n α
c-à-d ( 1 + α )n + 1 >= 1 + α + n α + n² α
c-à-d ( 1 + α )n + 1 >= 1 +( 1 + n ) α + n² α
Mais 1 +( 1 + n ) α + n² α >= 1 +( 1 + n ) α car n² α >= 0
Ainsi ( 1 + α )n + 1 >= 1 +( 1 + n ) α
Conclusion : L'inégalité de Bernoulli est prouvée sur IN.
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EX 2. Soit q = 1 + α avec α un réel strictement positif.
Justifier que lim qn = + ∞
n→ + ∞
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Réponse: Comme α est un réel positif
on a ( 1 + α )n ≥ 1+ n α pour tout n dans IN. ( Inégalité de Bernoulli )
Mais q = 1 + α .
Donc qn ≥ 1 + n α
Or lim ( 1 + n α ) = + ∞ sachant que α est un réel strictement positif.
n→ + ∞
D'où lim qn = + ∞
n→ + ∞
Conclusion : On a bien le résultat.
lim qn = + ∞ quand q > 1
n→ + ∞
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EXERCICE 3.
Soit q un réel tel que 0 < q < 1.
a. Que peut-on dire de lim ( 1 / q )n ?
n→ + ∞
b. En déduire lim qn .
n→ + ∞
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Réponse:
a. Comme 0 < q < 1 on a 1 < 1 / q .
Donc
lim ( 1 / q )n = + ∞ d'après le résultat de l'exercice précédent.
n→ + ∞
Conclusion: lim ( 1 / q )n = + ∞ quand 0 < q < 1
n→ + ∞ n→ + ∞
b. Comme q non nul on a : qn = 1 / ( 1 / qn )
c-à-d qn = 1 / ( 1 / q )n
Mais lim ( 1 / q )n = + ∞ car 0 < q < 1 et la question 1.
Donc lim 1 / ( 1 / q )n = 1 / + ∞ = 0
n→ + ∞
c-à-d lim qn = 0
n→ + ∞
Conclusion lim qn = 0 quand 0 < q < 1
n→ + ∞
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EX 4.
Soit q un réel tel que - 1 < q < 0.
a. Encadrer | q |.
b. A-t-on - | q | n ≤ qn ≤ | q | n ?
( On rappelle que tout réel x est compris entre - | x | et | x | . )
c. Trouver lim qn .
n→ + ∞
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Réponse:
a. Soit - 1 < q < 0.
On a : 0 < | q | < 1
b. Le réel qn est compris entre sa valeur absolue et l'opposé de sa valeur absolue.
Donc : - | q n | =< qn =< | q n |
c-à-d - | q | n =< qn =< | q | n
Conclusion: OUI. - | q | n =< qn =< | q | n quand - 1 < q < 0.
c. Comme 0 < | q |n < 1 on a lim |q |n = 0 .
n→ + ∞
or - | q | n =< qn =< | q | n sachant - 1 < q < 0.
Donc d'après le Th. des gendarmes on a :
lim qn = 0 .
n→ + ∞
Conclusion: lim qn = 0 quand - 1 < q < 0 .
n→ + ∞
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