FEUILLE n°2 D'EXERCICES Janvier 2014

                                    FEUILLE D'EXERCICES SUR LA FONCTION               ln          TS1      janvier 2014

         EXERCICE 1

                         Etudier les variations de la fonction  f : x ln( 2 + ex )

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    REPONSE:

                                     Etf

                  • Première méthode.

                 La fonction u : x   2 + ex   est définie  , dérivable et strictement positive sur IR

                 car la fonction exp l'est également.

               On a :     f = ln o u

               Ainsi :    La fonction f est définie et dérivable sur IR

                               et          f '  =  u '  / u

               On a :    u ' : x  →   ex       car     exp ' = exp

               Donc  :    f ' : x  →   ex   / (  2 + ex )

               Mais                   ex   / (  2 + ex )  > 0     car   exp >0 sur IR

              Donc             f ' > 0    sur IR

                Conclusion :   f  est strictement croissante sur IR.

                • Seconde méthode.

                             f  est la composée de deux fonctions strictement croissantes.

                             u : x  →  2 +  ex        définie , strictement croisssante  et strictement positive sur IR

                                                                  car la fonction  exp l'est.

                            La fonction ln définie, strictement croissante sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

                    Conclusion : f  est définie et stricement croissante sur IR.                     

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               EXERCICE 2 

                            Résoudre dans IR l'équation:

                              ln( 2 x - 1 ) + ln( x - 1 ) = ln ( 1 )

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              REPONSE:

              •  Condition initiale :

                                      2 x - 1  > 0

                                 et     x - 1 > 0

                    c-à-d

                                       x > 1 / 2   et   x > 1

                     c-à-d     x > 1 

              • Soit  x > 1 .

                 L'équation s'écrit  :   ln [  (  2 x - 1 ) (    x - 1  ) ]  = ln(  1  )

                               c-à- d           (  2 x - 1 ) (    x - 1  )  = 1 

                               c-à-d             2 x - x  - 2 x + 1 = 1

                               c-à-d              2 x  - 3 x  = 0

                               c-à-d               x ( 2 x - 3 ) = 0

                                c-à-d              x = 0  ou    2 x - 3 = 0

                                  c-à-d             x = 0      ou     x = 3 / 2

                        Mais  0 ne respecte pas la condition x > 1

                         Par contre:      3 / 2  > 1

                 Conclusion :   SIR = { 3 / 2 }

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       EXERCICE 3 

                Soit la fonction 

                                           Ftln

              définie sur   ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

               Trouver son sens de variation sur l'intervalle ] 1 , + ∞ [ .            

 

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                       REPONSE:

             f est définie et dérivable sur   ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

              comme somme de telles fonction.

                       En effet:

                       • La fonction affine  x → x est définie et dérivable

                          sur   ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

                      • La fonction   x →  ln( x2 - 1 )  l'est également car 

                          c'est la fonction  ln o u    où   u : x x2  - 1

                           avec u un fonction polynôme définie dérivableet  strictement positive sur 

                          ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

                          La fonction dérivée de   ln o u   est  u ' / u.  

                          On a :          u ' : x  → 2 x  

                  Ainsi:

                  Soit  x dans ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

                                   Xpdr

                   f '( x ) est donc du signe de  x2 + 2 x - 1  

                   pour x dans   ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [.

                               Δ ' = b' 2  - ac               b' = 1    a = 1  c = - 1

                         c-à-d

                            Δ ' = 1 + 1 = 2

                       Les racines dans IR sont:

                       ( - b ' - √ Δ '  ) / a =  - 1 -  √ 2     et     ( - b ' - √ Δ '  ) / a =  - 1 + √ 2 

                           - 1 -  √ 2  < - 1      et       - 1 < - 1 + √ 2  < 1

                         Donc      x + 2 x - 1 > 0   pour tout x dans 2] 1 , + ∞ [.

                       Ona :   f '( x ) > 0    sur  ] 1 , + ∞ [.

                  Conclusion : f est  strictement croissante sur ] 1 , + ∞ [.

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