FEUILLE D'EXERCICES SUR LA FONCTION ln TS1 janvier 2014
EXERCICE 1
Etudier les variations de la fonction f : x→ ln( 2 + ex )
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REPONSE:
• Première méthode.
La fonction u : x → 2 + ex est définie , dérivable et strictement positive sur IR
car la fonction exp l'est également.
On a : f = ln o u
Ainsi : La fonction f est définie et dérivable sur IR
et f ' = u ' / u
On a : u ' : x → ex car exp ' = exp
Donc : f ' : x → ex / ( 2 + ex )
Mais ex / ( 2 + ex ) > 0 car exp >0 sur IR
Donc f ' > 0 sur IR
Conclusion : f est strictement croissante sur IR.
• Seconde méthode.
f est la composée de deux fonctions strictement croissantes.
u : x → 2 + ex définie , strictement croisssante et strictement positive sur IR
car la fonction exp l'est.
La fonction ln définie, strictement croissante sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.
Conclusion : f est définie et stricement croissante sur IR.
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EXERCICE 2
Résoudre dans IR l'équation:
ln( 2 x - 1 ) + ln( x - 1 ) = ln ( 1 )
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REPONSE:
• Condition initiale :
2 x - 1 > 0
et x - 1 > 0
c-à-d
x > 1 / 2 et x > 1
c-à-d x > 1
• Soit x > 1 .
L'équation s'écrit : ln [ ( 2 x - 1 ) ( x - 1 ) ] = ln( 1 )
c-à- d ( 2 x - 1 ) ( x - 1 ) = 1
c-à-d 2 x2 - x - 2 x + 1 = 1
c-à-d