EXERCICE: Loi Binom. et Loi Exponen.

                                         LOIS BINOMIALES ET LES LOIS EXPONENTIELLES              TS    juin 2013

   

       EXERCICE   ( Ex de bac  ) 

             Les parties A et B sont indépendantes.

             Albert fabrique des appareils électroniques.

             Pour cela il doit acheter des composants dans un magasin.

             On estime que la probabiité qu'un composant vendu soit défectueux est 0,02.

       PARTIE  A:

            On admet que le nombre de composants disponibles dans le magasin est 

            suffisamment important pour que l'achat de 50  composants soit assimilé à 

            50  tirages indépendants  avec remise. Albert achète 50 composants électroniques.   

       1. Quelle est  la probabilité qu'exactement deux composants achetés soient défectueux?                 

            Donner la valeur exacte  de  P( X  = 2 ) puis la  valeur approchée à 10 - 1    près

            de cette probabilité.              

       2. Qu'elle est la probabiité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux?

           Puis donner une valeur approchée à 10- 1    près de cette probabilité.

       3. Quel est par lot de 50 composants achetés , le nombre moyen de

           composants défectueux ?

       PARTIE B.

            On suppose que  la durée de vie T1   , en heures, de chaque composant

            défectueux suit une loi exponentielle de paramètre  λ1 = 5 × 10 - 4    

            et que la durée de vie T2 , en heures, de chaque composant non défectueux

             suit une loi exponentielle  de paramètre  λ2 =  10 - 4     .

       1. Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à 1000 heures:

              a. Si le composant est défectueux.

              b. Si le composant n'est pas défectueux.

                    On donnera une valeur approchée de ces probabilités  à 10 - 4     près.

       2. Soit T la durée de vie , en heures, d'un composant acheté au hasard.

                 Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état

                de marche après t heures de fonctionnement est:     

                    pt-1.png

              (  On rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit

                  défectueux est égale à 0,02. )                                              

      3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1000 heures

          après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux?

          Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10- 2 près.

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