INFO EX 2 Partie A DS n° 6 TS1 Samedi 9 février 2013

                   INFO EX 2 Partie A DS n° 2   TS1  Samedi 9  février 2013

             EXERCICE 2

              Partie A

                         Soit la foncton g : x → 2 x3 - 1 + 2 ln x      sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [

                    1. Variations de g sur 'intervalle  ] 0 , + ∞ [

                        La fonction  g estdéfinie et dérivable sur  ] 0 , + ∞ [ comme 

                         somme de fonctions définies et dérivables sur  ] 0 , + ∞ [.

                          g ' : x  → 2 x2  + 2 / x

                          Pour tout x >0 on a :    2 x2  + 2 / x  > 0   

                         Donc    g' > 0 sur    ] 0 , + ∞ [.

                        Conclusion :  La fonction g est strictement croissante sur  ] 0 , + ∞ [.

                  2. Existence d'un unique réel α dans ] 0 , + ∞ [ tel que g( α ) = 0

                        La fonction g est définie, continue et  strictement croissante sur  ] 0 , + ∞ [.

                              lim g( x )    =    lim (  2 x3 - 1 + 2 ln x ) = +  ∞     car      lim  ln =  +  ∞

                              x → +  ∞        x → +  ∞                                                 +  ∞

                              lim  g( x )    =    lim (  2 x3 - 1 + 2 ln x ) = -  ∞     car   lim  ln =  -  ∞

                                x → 0+                   x  → 0+                                                                         0+  

                                       text.png

                                  α  [.

                                 Conclusion : Le résultat est avéré

                             •  Valeur approchée de α  arrondie au centième .

                                  On a :          g( 0, 86 ) × g( 0,87 ) < 0

                                   Donc :         0, 86 < α <  0,87

                                          Conclusion :   α ≈ 0,86    convient comme valeur approchée    

               3. Donnons le signe de g( x )  sur l'intervalle  ] 0 , + ∞ [.

                         Comme la fonction g est strictement croissante sur  l'intervalle  ] 0 , + ∞ [

                             et g(α ) = 0 on le tableau de signe suivant:

x 0              α            + ∞ 
g(x) ||      -      0        + 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------