REMARQUE UTILE

               REMARQUES  UTILES   SUR LA LECON 1            1S        OCT. 08

         ( Connaissances non obligatoires. )


                    1. Quand une équation du second degré a x2 + b x + c = 0 avec a non nul

                       admet 1 comme racine évidente l'autre est  c / a.


                   2 . Quand une équation du second degré a x2 + b x + c = 0 avec a non nul

                       admet  - 1 comme racine évidente l'autre est    - c / a.


                  3. Si le réel b s'écrit sous la forme 2 b' on peut utiliser le discriminant " simplifié".

                     Δ' = b' ² - a c             Δ = b² - 4 ac = ( 2 b' )² - 4 ac = 4 b' ² - 4 ac = 4 ( b' ² - ac ) = 4 Δ'

                    Il est clair que le signe de Δ est celui de Δ' .

                    De plus      Δ = 0   ssi    Δ' = 0.

                   La discusion est donc la même. Mais les formules sont plus simples.

                    •  •  Δ > 0    c-à-d   Δ' > 0             les racines sont :          ( - b'   -  √Δ' ) / a     et  ( - b'   +  √Δ' ) / a  

                   •  •  Δ = 0    c-à-d   Δ'  =  0       la racine ( "double" )   est             - b' / a .

                  •  •  Δ < 0    c-à-d   Δ' < 0           Aucune racine.


                L'INTERËT DU " DISCRIMINANT SIMPLIFIE"    Δ'  QUAND ON PEUT L'UTILISER EST DE

               CALCULER UN DISCRIMINANT PLUS PETIT ET D'AVOIR LA FORME SIMPLIFIEE DES

               RACINES EVENTUELLES.

                ATTENTION.  QUAND b N' EST PAS DE LA FORME 2 b'  IL FAUT S' ABSTENIR.


         EXEMPLE .          Résoudre x2 - 6 x + 4 = 0 dans l'ensemble des réels.

                                          a = 1               b = - 6     c = 4                    Δ ' = b' ² - a c            b' = - 3

                                         Δ ' =  ( - 3 )2  -   4 =  5               Δ '  > 0      .

                                    Les deux racines sont:           ( - b'   -  √Δ' ) / a    =  3 -  √5              

                                                                                     ( - b'   +  √Δ' ) / a    =  3 +  √5    

                                L'ensemble solution est donc:      

       S = {   3 -  √5  ;      3 +  √5  }
               

                                  ( Le calcul de   Δ = 20  aurait   donné la forme non simplifiée des solutions. )

 

       S = {( 6  -  √20 ) / 2   ;   (  6 +  √20 ) / 2   }