INFO EX 2 SUJET 2000N BTS

                INFO SUR L'EXERCICE 2  DU SUJET 2000N      BTS          AVRIL 09

         EXERCICE 2          ( 7 POINTS )

                   Une société s'occupe de la saisie informatique de documents.

                   Pour chaque document, une première saisie est retournée, pour vérification, au client correspondant.

                                Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à 10-3   .

                Partie A

                     Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est fixé à 2 semaines.

                     Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit effectivement 

                     retournée au client dans le délai fixé est égale à 0,9.

                     On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n saisies choisies au hasard par tirage

                     avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas été respecté.

                          1.  a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?

                                     On répète n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont

                                     les issues sont " Hors délai "  , " Pas hors délais" avec 0,1 la probabilité de " Hors délai ".

                                     X indique le nombre de " Hors délai " .

                                      Donc :      X est de loi binomiale B( n ; 0,1 ).

                               b. Pour cette question, on suppose que n = 20. Calculer la probabilité P( X = 2 ).

                                  X est de loi binomiale B( 20 ; 0,1 )  car n = 20

                                  P( X = 2 ) = C20 2   0,12   0,9 18 

                                   P( X = 2 ) ≈ 0,285

                          2.  Pour cette question, on suppose que  n = 100. On admet que la loi de probabilité de X peut être

                               approchée par une loi de Poisson.

                              a. Donner le paramètre de cette loi de Poisson.     

                                   X est de loi binomiale B( 100 ; 0,1 )   car n = 100

                                    E( X ) = 100× 0,1 = 10

                                   On pose donc      λ = 10

                                   car  l'espérance de Y  qui  est  λ  doit être celle de X.

                              b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer une valeur approchée de chacune des probabilités

                                       P( X = 4 ) et  P( X > 2 ).

                                   D'après la table de Poisson   P( X = 4 ) ≈ 0,019   

k \ λ 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,368 0,223 0,135 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000
1 0,368 0,335 0,271 0,149 0,073 0,034 0,015 0,006 0,003 0,001 0,000
2 0,184 0,251 0,271 0,224 0,147 0,084 0,045 0,022 0,011 0,005 0,002
3 0,061 0,126 0,180 0,224 0,195 0,140 0,089 0,052 0,029 0,015 0,008
4 0,015 0,047 0,090 0,168 0,195 0,176 0,134 0,091 0,057 0,034 0,019  
5 0,003 0,014 0,036 0,101 0,156 0,176 0,161 0,128 0,092 0,061 0,038
6 0,001 0,004 0,012 0,050 0,104 0,146 0,161 0,149 0,122 0,091 0,063
7 0,000 0,001 0,003 0,022 0,060 0,104 0,138 0,149 0,140 0,117 0,090
8   0,000 0,001 0,008 0,030 0,065 0,103 0,130 0,140 0,132 0,113
9     0,000 0,003 0,013 0,036 0,069 0,101 0,124 0,132 0,125
10       0,001 0,005 0,018 0,041 0,071 0,099 0,119 0,125
11       0,000 0,002 0,008 0,023 0,045 0,072 0,097 0,114
12         0,001 0,003 0,011 0,026 0,048 0,073 0,095
13         0,000 0,001 0,005 0,014 0,030 0,050 0,073
14           0,000 0,002 0,007 0,017 0,032 0,052
15             0,001 0,003 0,009 0,019 0,035
16             0,000 0,001 0,005 0,011 0,022
17               0,001 0,002 0,006 0,013
18               0,000 0,001 0,003 0,007
19                 0,000 0,001 0,004
20                   0,001 0,002
21                   0,000 0,001

                 De plus     P( X > 2 )  = 1 − P( X = 0 )  − P( X = 1 ) − P( X = 2 )   

                  D'apès la table :  

                         P( X > 2 )  ≈ 1 − e− 10  − 0,015 − 0,090   

     c-à-d            P( X > 2 )  ≈  0,895

            Partie B

                               On désigne par Y  la variable aléatoire qui, à chaque saisie retournée et choisie au hasard

                               par tirage avec remise, associe le nombre d'erreurs décelées dans cette saisie par le client

                               correspondant.

                              On admet que  Y suit une loi normale de moyenne 30 et d'écart type 8.

                           1. Calculer la probabilité P( 25  ≤ Y ≤  35 ).    

                              Y est de type N( 30 ; 8 )    

                             Ainsi :  

                                Pr de loi norm 1  

                             Posons :   Z = ( X − 30 ) / 8

                               Z est de loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ).

                              On a :      P(  − 5 / 8 ≤  Z  ≤  5 / 8 ) =  2 ∏( 5 / 8 ) − 1 = 2 ∏( 0,6250  ) − 1                                                                           

                           2. Déterminer le plus petit nombre n0 tel que : P ( Y ≥ n0   )≤  0,945.

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