INFO FEUILLE D'EX n°1 SUITES TS1 SEPT 2013

           INFO  FEUILLE D'EXERCICES n° 1 SUR LES SUITES     07/ 09 / 2013    TS1

           EXERCICE 1

                            Soit la suite récurrente ( u ) définie par:

                             u0 = 0  

                              un + 1 = un + 1 / (  ( n + 1 ) ( n + 2 ) )                 pour tout n dans IN

                             Etablir que     un = n / ( n + 1)          pour tout n dans IN

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           REPONSE:

                               B44

                          Conclusion:  L'égalité un = n / ( n + 1)   est démontrée

                                 pour tout n dans IN.

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          EXERCICE 2

                                Soit la suite récurrente ( u ) telle que :

                                u1 = 1

                                un + 1 = un + 2 n + 1              pour tout n dans IN*

                               • Conjecturer un en fonction de n.

                              • Etablir par récurrence cette conjecture.

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           REPONSE:

           • Essayons en trouvant ses premiers termes.

                    u1 = 1  = 12

                    u2 = u1 + 1   = u1+ 2 × 1 + 1 = 4  = 22

                   u3 = u2 + 1   = u2+ 2 × 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9  = 32

                    u4 = u 3 + 1 = u3 + 2 × 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16 = 42

           Conclusion:    On peut  conjecturer que    un = n2    pour tout n dans IN*

                • Démontrons le par récurrence sur  IN*.

                      * n = 1

                        u1 = 1  = 12

                           la formule est bien vraie pour n = 1

               * Soit n dans IN* quelconque.

                   Montrons que si    un = n  alors un+ 1 = ( n + 1  )2
                 On a :  un + 1 = un + 2 n + 1

                   Or        un  = n2

                 d'où :          un + 1 =  n2 + 2 n + 1 = ( n + 1 )2

                  c-à-d 

                                un + 1 =  ( n + 1 )2       

                 On a bien la formule à l'ordre n + 1.

                 Conclusion : La conjecture est prouvée sur IN*

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        EXERCICE 3 

              Soit la suite récurrente ( u ) telle que:

                     u0 = 8  

                     un + 1 = 0,25 un + 3             pour tout n dans IN

            Etablir que cette suite est décroissante sur IN.

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    REPONSE:

              Pour cela montrons que    un +1 -  u ≤ 0     pour tout n dans IN.

              Etablissons le par récurrence sur IN.

            * n = 0

                       on a :

                          u0 = 8

                  et    u1 = 0,25 × u0 + 3 = 0,25 × 8 + 3 = 5

                          Donc :    u1 - u0 = 5 - 8 = - 3

                         L'inégalité est bien vraie pou n = 0

           * Soit n dans IN quelconque.

                   Montrons que si      un + 1 - un ≤ 0      alors     un + 2 - un + 1  ≤ 0

                    On a :  un + 2  =  0,25  un+1   + 3    

                      et       un + 1 =  0,25 un + 3

               Par différence:

                         un + 2 - un + 1   =  0,25 (   un + 1 - un  )

                   Or                                        un + 1 - un    ≤ 0

                 Donc :                          0,25 ( un + 1 -  u ) ≤ 0

                 c-à-d                           un + 2  - u n + 1    ≤ 0

                    On a bien l'inégalité à l'ordre n + 1 .

            Conclusion : L'inégalité est prouvée sur IN.

                  La suite est bien décroissante sur IN.

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         EXERCICE 4 

           Soit la suite récurrente ( u ) définie par :

                          u0 = 2 

                         un + 1 = √( 2 un + 1 )            pour tout n dans IN

                           •Etablir que la suite ( u ) est à termes positifs et croissante sur IN.

                          • Est-elle majorée par 4 sur IN ?

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             REPONSE:

             Montrons que  0 ≤ un  ≤ un + 1   ≤ 4               pour tout n dans IN.

             Faisons une récurrence sur IN.

                     * n = 0

                             On a :

                          u0 = 2

                          u1 = √( 2 u0 + 1 ) = √( 2 × 2 + 1 ) =   √ 5       √5 ≈ 2,24

                         On a donc :     0  ≤  2  ≤ √5 ≤ 4 

                         Donc  La triple inégalité est vraie pour n = 0

                       * Soit n dans IN quelconque.

                         Montrons que si    0 ≤ un  ≤  un + 1   ≤ 4   alors 0 ≤  un + 1 ≤  un + 2    ≤ 4

                          Comme  on a  0 ≤ un  ≤  un + 1  ≤ 4       il vient en multipliant par 2

                             0 ≤  2 × un  2  un + 1   × 4

                             c-à-d     en ajoutant 1

                             1 ≤   2 un + 1    ≤  2 un + 1 + 1   ≤   8 + 1   

                   Mais la fonction √ est croisante sur IR+  .

                          Donc  :              √1  ≤  √ ( 2 un + 1 ) ≤ √( 2 un + 1 + 1 )  ≤ √9

                             c-à-d

                                              1 ≤  un+ 1  ≤    un + 2    ≤  3

                            On a obtenu la triple inégalité à l'ordre n + 1

                 Conclusion: Le résultat demandé est prouvé sur IN.         

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          EXERCICE 5

                        Soit la suite ( u ) définie sur IN par:

                                      un = 5 × 3n + 2                    pour tout n dans IN

                        Sachant que cette suite est croissante, trouver le seuil n 

                       à partir duquel:     u ≥ 300 , à l'aide de la calculatrice.

                    ( On pourra écrire un algorithme dans un programme. )

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           REPONSE:

                     On a:  u0 = 5× 30 + 2 = 5 + 2 = 7

                    La suite est croissante ( et diverge vers + ∞. )

                      Utilisons l'algorithme du cours avec la TI

                         PROGRAM: RANG

                         : Input A: 7 →U : 0 → N

                         : While  U ≤ A : N + 1 → N 

                         : 5*3^N + 2→ U :End: Disp N

        ( les instructions s'écrivent à la suite sans retour à la ligne nécessaire )

           On fait tourner le programme.

            PRGM 

               Descendre le curseur jusqu'à                RAND    

                                                                 ENTER 

                Il vient          prgmRANG  

                                                                   ENTER 

                  ? 

                Donner la valeur de A

                 Répondre                                  300

                  On obtient :                              4  

             Conclusion:

                  A partir du rang   n = 4  on   a   un ≥ 300  

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              EXERCICE 6 

                          Soit ( u ) la suite de terme géneral       un = n / ( n + 1 )

                         pour tout n dans IN.

                         Est-elle bornée ?

                        Donner son sens de variation.

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   REPONSE:

                   Soit n dans IN.

                      On a :     un = n / ( n+ 1)

                 #     Nous allons encadrer u.

                    Faisons  apparaître au numérateur le n + 1 qui figure au dénominateur.

                             un = ( n + 1  - 1 ) / ( n + 1 ) = 1  -  1 /  (n + 1 )

                      • Comme  - 1 / ( n + 1 ) < 0   on a      1 - 1 / ( n + 1 ) < 1

                          c-à-d     un < 1

                     • un est le quotient deux entiers naturels n et n + 1

                      avec n + 1 non nul.

                       Donc :         0 ≤ un

                Ainsi :      0 ≤  un  ≤ 1  pour tout n dans In.

                  Conclusion :    La suite ( u ) est bornée par 0 et 1 sur IN.

                #  Donnons son sens de variation.

                     Soit n dans IN.

                   Considérons pour cela la différence un + 1 - un  .

                     On a:              un + 1 - un    = ( n + 1 ) / ( n + 2 )   - n / ( n + 1 )

                      c-à-d            à l'aide d'une réduction au même dénominateur

                                              un + 1 - un   = [ ( n + 1 )2 - n ( n+ 2 ) ] / [ ( n + 1 ) ( n + 2 )]

                      c-à-d                un + 1 - un = [  n2 + 2 n + 1 - n2 - 2 n ] / [ ( n + 1 ) ( n + 2 )]

                    c-à-d            un + 1 - un =  1 / [ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ]

                   Il apparaît que:       1 / [ ( n + 1 ) ( n + 2) ] > 0          pour tout n dans IN

                   c-à-d                           un + 1 - un > 0      pour tout n dans IN  

                   Conclusion :         La suite ( u ) est croissante sur IN .  

             Autre méthode possible:

                       Soit la fonction f : x → x / ( x + 1) sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                                             c'est -à-dire   f : f : → 1 -  1 / ( x + 1 )

                          C'est une fonction rationnelle qui est définie sur [ 0 , + ∞ [.

                           Elle y est donc dérivable.

                          On a :           f ' : x → 1 / ( x + 1) 2

                        Donc             f ' > 0  sur  l'intervalle [ 0 , + ∞  [

                           La fonction f est ainsi croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                        Sa restriction à IN , c-à-d la suite ( u ) l'est également.

                        D'où:  

                           Conclusion:    la suite ( u ) est croissante sur IN.

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           EXERCICE 7

                        Soit la suite ( u ) telle que  un = 1 / ( n + 1 ) - 1 / n

                          pour tout n dans IN*.

                         Etablir que:     u1 + u2 + .... + un = - n / ( n + 1)               pour tout n dans IN*.

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            REPONSE:

                 Adoptons une disposition verticale:

                                                    u1 = 1 / 2    - 1 / 1

                                                    u2 = 1 / 3     - 1 / 2    

                                                    u3 = 1 / 4      - 1 / 3 

                                                                                    

                                                                   .............................

                                                                        

                                                    un = 1 / ( n + 1)  -  1 / n

    Il reste                                  _______________________

    en sommant:   u1 + u2  + u3 + ....... + un    = 1 / ( n + 1 ) - 1  = ( 1 - ( n + 1 ) ) / ( n + 1) 

              c-à-d                 u1 + u2 + u3   +  ............ + un =   - n / ( n + 1)

             Conclusion:  l'égalité est prouvée pour tout n dans IN*

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