INFO FEUILLE D'EXERCICES n° 1 SUR LES SUITES 07/ 09 / 2013 TS1
EXERCICE 1
Soit la suite récurrente ( u ) définie par:
u0 = 0
un + 1 = un + 1 / ( ( n + 1 ) ( n + 2 ) ) pour tout n dans IN
Etablir que un = n / ( n + 1) pour tout n dans IN
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REPONSE:
Conclusion: L'égalité un = n / ( n + 1) est démontrée
pour tout n dans IN.
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EXERCICE 2
Soit la suite récurrente ( u ) telle que :
u1 = 1
un + 1 = un + 2 n + 1 pour tout n dans IN*
• Conjecturer un en fonction de n.
• Etablir par récurrence cette conjecture.
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REPONSE:
• Essayons en trouvant ses premiers termes.
u1 = 1 = 12
u2 = u1 + 1 = u1+ 2 × 1 + 1 = 4 = 22
u3 = u2 + 1 = u2+ 2 × 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 = 32
u4 = u 3 + 1 = u3 + 2 × 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16 = 42
Conclusion: On peut conjecturer que un = n2 pour tout n dans IN*
• Démontrons le par récurrence sur IN*.
* n = 1
u1 = 1 = 12
la formule est bien vraie pour n = 1
* Soit n dans IN* quelconque.
Montrons que si un = n2 alors un+ 1 = ( n + 1 )2
On a : un + 1 = un + 2 n + 1
Or un = n2
d'où : un + 1 = n2 + 2 n + 1 = ( n + 1 )2
c-à-d
un + 1 = ( n + 1 )2
On a bien la formule à l'ordre n + 1.
Conclusion : La conjecture est prouvée sur IN*
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EXERCICE 3
Soit la suite récurrente ( u ) telle que:
u0 = 8
un + 1 = 0,25 un + 3 pour tout n dans IN
Etablir que cette suite est décroissante sur IN.
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REPONSE:
Pour cela montrons que un +1 - un ≤ 0 pour tout n dans IN.
Etablissons le par récurrence sur IN.
* n = 0
on a :
u0 = 8
et u1 = 0,25 × u0 + 3 = 0,25 × 8 + 3 = 5
Donc : u1 - u0 = 5 - 8 = - 3
L'inégalité est bien vraie pou n = 0
* Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un + 1 - un ≤ 0 alors un + 2 - un + 1 ≤ 0
On a : un + 2 = 0,25 un+1 + 3
et un + 1 = 0,25 un + 3
Par différence:
un + 2 - un + 1 = 0,25 ( un + 1 - un )
Or un + 1 - un ≤ 0
Donc : 0,25 ( un + 1 - un ) ≤ 0
c-à-d un + 2 - u n + 1 ≤ 0
On a bien l'inégalité à l'ordre n + 1 .
Conclusion : L'inégalité est prouvée sur IN.
La suite est bien décroissante sur IN.
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EXERCICE 4
Soit la suite récurrente ( u ) définie par :
u0 = 2
un + 1 = √( 2 un + 1 ) pour tout n dans IN
•Etablir que la suite ( u ) est à termes positifs et croissante sur IN.
• Est-elle majorée par 4 sur IN ?
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REPONSE:
Montrons que 0 ≤ un ≤ un + 1 ≤ 4 pour tout n dans IN.
Faisons une récurrence sur IN.
* n = 0
On a :
u0 = 2
u1 = √( 2 u0 + 1 ) = √( 2 × 2 + 1 ) = √ 5 √5 ≈ 2,24
On a donc : 0 ≤ 2 ≤ √5 ≤ 4
Donc La triple inégalité est vraie pour n = 0
* Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si 0 ≤ un ≤ un + 1 ≤ 4 alors 0 ≤ un + 1 ≤ un + 2 ≤ 4
Comme on a 0 ≤ un ≤ un + 1 ≤ 4 il vient en multipliant par 2
0 ≤ 2 × un ≤ 2 un + 1 ≤ 2 × 4
c-à-d en ajoutant 1
1 ≤ 2 un + 1 ≤ 2 un + 1 + 1 ≤ 8 + 1
Mais la fonction √ est croisante sur IR+ .
Donc : √1 ≤ √ ( 2 un + 1 ) ≤ √( 2 un + 1 + 1 ) ≤ √9
c-à-d
1 ≤ un+ 1 ≤ un + 2 ≤ 3
On a obtenu la triple inégalité à l'ordre n + 1
Conclusion: Le résultat demandé est prouvé sur IN.
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EXERCICE 5
Soit la suite ( u ) définie sur IN par:
un = 5 × 3n + 2 pour tout n dans IN
Sachant que cette suite est croissante, trouver le seuil n
à partir duquel: un ≥ 300 , à l'aide de la calculatrice.
( On pourra écrire un algorithme dans un programme. )
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REPONSE:
On a: u0 = 5× 30 + 2 = 5 + 2 = 7
La suite est croissante ( et diverge vers + ∞. )
Utilisons l'algorithme du cours avec la TI
PROGRAM: RANG
: Input A: 7 →U : 0 → N
: While U ≤ A : N + 1 → N
: 5*3^N + 2→ U :End: Disp N
( les instructions s'écrivent à la suite sans retour à la ligne nécessaire )
On fait tourner le programme.
PRGM
Descendre le curseur jusqu'à RAND
ENTER
Il vient prgmRANG
ENTER
?
Donner la valeur de A
Répondre 300
On obtient : 4
Conclusion:
A partir du rang n = 4 on a un ≥ 300
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EXERCICE 6
Soit ( u ) la suite de terme géneral un = n / ( n + 1 )
pour tout n dans IN.
Est-elle bornée ?
Donner son sens de variation.
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REPONSE:
Soit n dans IN.
On a : un = n / ( n+ 1)
# Nous allons encadrer un .
Faisons apparaître au numérateur le n + 1 qui figure au dénominateur.
un = ( n + 1 - 1 ) / ( n + 1 ) = 1 - 1 / (n + 1 )
• Comme - 1 / ( n + 1 ) < 0 on a 1 - 1 / ( n + 1 ) < 1
c-à-d un < 1
• un est le quotient deux entiers naturels n et n + 1
avec n + 1 non nul.
Donc : 0 ≤ un
Ainsi : 0 ≤ un ≤ 1 pour tout n dans In.
Conclusion : La suite ( u ) est bornée par 0 et 1 sur IN.
# Donnons son sens de variation.
Soit n dans IN.
Considérons pour cela la différence un + 1 - un .
On a: un + 1 - un = ( n + 1 ) / ( n + 2 ) - n / ( n + 1 )
c-à-d à l'aide d'une réduction au même dénominateur
un + 1 - un = [ ( n + 1 )2 - n ( n+ 2 ) ] / [ ( n + 1 ) ( n + 2 )]
c-à-d un + 1 - un = [ n2 + 2 n + 1 - n2 - 2 n ] / [ ( n + 1 ) ( n + 2 )]
c-à-d un + 1 - un = 1 / [ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ]
Il apparaît que: 1 / [ ( n + 1 ) ( n + 2) ] > 0 pour tout n dans IN
c-à-d un + 1 - un > 0 pour tout n dans IN
Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN .
Autre méthode possible:
Soit la fonction f : x → x / ( x + 1) sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
c'est -à-dire f : f : → 1 - 1 / ( x + 1 )
C'est une fonction rationnelle qui est définie sur [ 0 , + ∞ [.
Elle y est donc dérivable.
On a : f ' : x → 1 / ( x + 1) 2
Donc f ' > 0 sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [
La fonction f est ainsi croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Sa restriction à IN , c-à-d la suite ( u ) l'est également.
D'où:
Conclusion: la suite ( u ) est croissante sur IN.
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EXERCICE 7
Soit la suite ( u ) telle que un = 1 / ( n + 1 ) - 1 / n
pour tout n dans IN*.
Etablir que: u1 + u2 + .... + un = - n / ( n + 1) pour tout n dans IN*.
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REPONSE:
Adoptons une disposition verticale:
u1 = 1 / 2 - 1 / 1
u2 = 1 / 3 - 1 / 2
u3 = 1 / 4 - 1 / 3
.............................
un = 1 / ( n + 1) - 1 / n
Il reste _______________________
en sommant: u1 + u2 + u3 + ....... + un = 1 / ( n + 1 ) - 1 = ( 1 - ( n + 1 ) ) / ( n + 1)
c-à-d u1 + u2 + u3 + ............ + un = - n / ( n + 1)
Conclusion: l'égalité est prouvée pour tout n dans IN*
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