RAPPEL COURS LOI BINOMIALE

    RAPPEL SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DE LOI BINOMIALE  B( n ; p )     AVRIL 09  BTS1

    • VARIABLE ALEATOIRE DE LOI BINOMIALE 

  On répète n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont

  l'isssue " Succès" a pour probabilité p et l'issue  " Echec" a pour probabilité q = 1 - p .

    ( n est un entier naturel non nul. )

          Soit X la v.a.r. qui associe à chaque série de n issues le nombre de " Succès".

          X suit une loi binomiale B ( n ; p ) de paramètres n et p.

          Pour tout entier k compris entre 0 et n on a:  

                              P( X = k ) = C nk     pk   qn - k 

                            L'espérance est :  E( X ) = n p

                            La variance est :    V( X ) = npq

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

     •     Explication.        

     Considérons une branche d'arbre où ily a d'abord K fois " S " puis n - k fois  " E ".

                                                       ---- S ----- S ---        ------S ----E ---- E  -----    E

     Pour la probabilité de la branche on a d'abord  k fois le facteur p  puis ( n - k ) fois

    le facteur  q .

   La probabilité de la branche est donc   pk   qn - k .

     Chaque branche comportant k fois le " S " et  ( n- k )  fois le " E " , dans

    n'importe quel ordre ,  a cette probabilité.

   Or il y a C nk   branches  avec  k fois le " S " et  ( n- k )  fois le " E " .

     Comme k varie de 0 à n , la probabilité de ( X = k ) est donc C nk     pk   qn - k    

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------